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四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。
粟米章提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；商功
章除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；均输章用衰分术解决赋役的合理
负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复
比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
少广章介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最
早的多位数和分数开方法则。它奠定了我国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基
础。
盈不足章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，
以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地
位的成果，传到西方后，影响极大。
方程章采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时
使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。
在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使
用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线
性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次
突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
勾股章提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则
m＞n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到
3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些
内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出了这样一组公式：
这在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，
以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后我国数学著
作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例著书；甚至西算传入中国之后，人们著
书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入“九章”的框架。
然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给
出任何推导和证明。魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了
这个缺陷。
刘徽是我国也是世界历史上最伟大的数学家之一。遗憾的是，他的生平我们现在知
之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》
的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。
刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和
数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出“凡数相与者
谓之率”，把“率”定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为“今两算得失相反，
要令正负以名之”，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相
反的相对关系。
《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化
了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出
其中的各种率关系，通过“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”，都可以归结为今有术
求解。
一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或
立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。
基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是我国古代数学进行几何推演和证明时最
常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面
积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。
在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。
《九章算术》提出圆面积公式S＝l/2·r（S为圆面积，l为圆周长，r为半径）。为
证明这个公式，刘徽从圆内接正六边形S6（称为六觚）开始割圆，依次得圆内接正十二
边形S12，圆内接正二十四边形S24，……S6·2的n次方……所有S6·2的n次方＜S，但
“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这相
当于：
然后他证明
而
。于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积，再把这个正多边形分割
成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和，所谓“觚而裁之，每辄自倍。
故以半周乘半径而为圆幂”。从明证明了S＝l/2·r。刘批评了以往“圆径一而周
三”的错误，指出此公式中周径是“至然之数”，即圆周率π。他以此公式为基础，求
出了π的两个近似值157/20和3927/1250，在中国首次创立了求圆周率的科学方法，奠
定了我国圆周率研究在世界长期领先的基础。
刘徽注关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积
的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这
个问题，他提出了一个重要原理“邪解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，今称为刘徽原理。刘徽平分壍堵的长、宽、
高，通过出入相补，可以证明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4与原壍堵的结
构相同，可以重复上述分割，又可以证明其3/4中这个原理成立。这个过程可以无限继
续下去，“半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？”完成
了该原理的证明。由壍堵的体积公式v＝1/2abh，便证明《九章算术》提出的阳马体积
公式v＝1/3abh，鳖臑的体积公式v＝1/6abh。近代数学大师高斯、希尔伯特才讨论这个
问题，已是近100多年以来的事。
刘徽注多方面表述了今天称之为祖暅之原理的命题，并由此证明了《九章算术》中
球体积公式的错误。他设计了牟合方盖，指出球与牟合方盖的体积之比是π∶4，只要
求出后者的体积就可以求出球体积了。他尽管没能求出牟合方盖的体积，但诚恳地表示
“以俟能言者”，表现出一位伟大学者的坦荡胸怀。这个问题后来由祖冲之父子彻底解
决，李淳风注释《九章算术》时详细记述了祖氏的方法。
刘徽注中还有不少有价值的成就。如对开方不尽，提出继续开方，求其“微数”，
以十进分数逼近无理根，开十进小数之先河；他还认识到不定方程有无穷多组解，等等。
刘徽注形成了一套数学体系，他说“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发
其一端而已。”把数学看作一株枝条虽然分开但本干相同的大树。他认为数学是“规矩”
与“度量”亦即空间形式与数量关系的统一。基于这些深刻的认识，他的证明除个别失
误外，都论点明确，论据充分，条理清晰，推理严谨；而且大都使用演绎推理，没有循
环论证。是严格的数学证明。有了刘徽的证明。《九章算术》的公式解法，才建立在真
实可靠的基础上。
《九章算术》及其刘徽注，以杰出的数学成就，独特的数学体系。不仅对东方数学，
而且对整个世界数学的发展产生了深远的影响，在科学史上占有极为重要的地位。它的
出现，标志着从公元前1世纪开始，中国取代古希腊成为世界数学的中心，为此后中国
数学领先世界1500多年奠定了基础。今天，随着计算机的出现和发展，它所蕴含的算法
和程序化思想，仍给数学家以启迪。吴文俊先生指出“《九章》所蕴含的思想影响，必
将日益显著，在下一世纪中凌驾于《原本》思想体系之上，不仅不无可能，甚至说是殆
成定局，本人认为也绝非过甚妄测之辞。”
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70 《齐民要术》
“惠民之政，训农裕国之术”
《齐民要术》是东魏（531—550）农学家贾思勰（青州齐郡益都，今山东寿平县人，
生平不详）约在6世纪30年代至40年代间写成的一部农学名著。记述了黄河流域下游地
区，即今山西东南部、河北中南部、河南东北部和山东中北部的农业生产，包括了农、
林、牧、渔、副等部门的生产技术知识，堪称为我国古代的一部农业百科全书。
《齐民要术》共10卷92篇，约11余万字，卷端另有“序”和“杂说”。“杂说”系
后人掺入之作。“序”是全书的总纲，包括著者的指导思想、内容范围、资料来源和写
作目的。
著者在“序”中援引大量经典和历史故事，反复阐发“食为政首”的重农思想，强
调“治国之本，在于安民；安民之本，在于足用。”把农业生产提到治国安民（“农为
邦本”）
的高度上来认识。只有农业生产发展了，人民的温饱问题解决了，才能“国富民
安”。
“食为政首”，是贯穿于《齐民要术》的主导思想。它规定了该书的写作范围和内
容，甚至章节安排的次序。正如“序”中所说“起自农耕，终于醯醢，资生之业，靡不
毕书。”
从农作物栽培，直至制醋作酱，凡与民生直接相关的�