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下，莱布尼茨在数学史上作出了划时代的贡献。他创立了微积分学。
16—17世纪，由于资本主义生产方式的发展，生产力迅速提高，机械的
使用、航海事业的发展，遇到大量新问题，迫切需要物理学、力学、天文学
等基础学科的发展，急需数学提供新的方法。然而，这个时期的大学数学家
仍然停留在经院哲学的过时的传统之中，最富有成果和最具独创性的研究是
由那些业余爱好者完成的。莱布尼茨就是其中的佼佼者。
莱布尼茨在研究几何学的过程中，借鉴前人的经验完成了数学革命。在
莱布尼茨之前，意大利数学家卡瓦列利于1635年发表了《不可分连续量的几
何学》一书，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分，
而法国数学家费尔马在求函数极大极小值时，其结果已接近了微积分。莱布
尼茨从几何学的求积问题和求切线问题出发，发明了微积分，于 1684年发表
了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。1686年，他又发
表了关于积分法的著作。
微分学提供了一个决定某一量在任一瞬间变化比率的一般方法。这个量
是在和另一个量的相互关系中连续变化的，因此它是另一个量的函数，值得
一提的是，莱布尼茨是第一个在现代意义上使用变量的函数这个词的。微分
学可以用于计算行星运行的轨道；描绘摆、波浪或颤动着的弦的运动；求出
用别的方法解不了的方程；确定函数的最大和最小值，等等。
积分是微分的逆转，它在于从给定的某一瞬间的值出发重建出一个整体
来。换句话说，就是增加一个维数。从一个点的变化比率出发，可以重建一
条完整的线，从一条线的变化比率出发，可以重建一个它所限定的面，而且
从一个面出发，就能指定出由旋转这个面所创造出来的体。这种方法实际上
用来确定重心，以及诸如飞轮那样的旋转物体的惯性运动，当然也有别的更
为复杂的用途。
莱布尼茨比较完整地建立了微积分的法则和公式体系，他又煞费苦心创
造出了一套方便的微积分符号，如微分符号d和积分符号∫，这些符号至今
仍在使用。
欧几里德几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，
微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。作为高等数学的主要分支，
它不只是局限在解决力学中的变速运动问题，它在近代和现代科学技术园地
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里建立了数不清的丰功伟绩。
但微积分刚刚诞生就面临着内部的争论和外部的围攻。
莱布尼茨首先是为无穷小量的逻辑尊严而苦恼。当时的数学家们一般都
认为，数学的对象应该是实在的（这仅是从几何学上加以描绘的一般意义上
看），他们对于那种不能拿直尺和圆规画出的“假想”的量深表怀疑，例如
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怀疑莱布尼茨的发现实际上是独立得到的并不合情理。但是为争论所激
起的民族主义热情以及有利于牛顿优先权的证据给英国的数学带来了不幸的
后果。英国人继续以牛顿《原理》中的几何方法为依据，结果使自己落在了
后面，使自己在一片死气沉沉中停滞了一个多世纪。这使欧洲大陆也受到一
定影响，由于双方停止交流思想，使他们对于牛顿的许多工作未能深入的研
究。
数学史上这个著名的事实，再一次警示人们，无谓的争论，片面强调所
谓的纯洁，结果只能空耗精力，影响事业本身的进程，对此，我们要引以为
训。
莱布尼茨在巴黎时期的第二个伟大的功绩，而且是最富潜力的发现，就
是二进制算法，虽然实际上他并不是发现这种算法的第一个人。早在17世纪
初，托马斯·哈里奥特就已经想到了它，1670年卡瓦利埃里又再次提到它。
莱布尼茨自己后来确信，中国人肯定也知道它，因为在《易经》的理论中已
经包含它了。
二进位制系统是最简便的可能的数字记数法。我们通常用的十进位制系
统中每个位数 （个位、十位、百位等等）都有十个符号可供选择，在二进位
制系统中就只有两个符号，一个表示空位，另一个则标志实位。如果位能够
任意规定，被栅极所规定的话，那么它所要求的一切也就是一个表示实位的
任意标记或符号。如果约定用0表示空位，用1表示实位，那么这个系统就
会像下面这样进行运算：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 1011100101110111100010001
虽然莱布尼茨为他自己的发现感到自豪，但是他却完全没有运用它。不
像卡瓦利埃里及现代的数学家们那样，他没有把这一发现一般化为具有它自
己专门定理的模数算术的理论。除了一个非常模糊的草稿之外，他没有试着
去设计一种运用此项发现的计算机。我们可能感到十分奇怪，在计算机的时
代中，有那么一个人既发明了计算器，又发明了二进位制算法，却不把这二
者结合起来，进而提出某种大体上接近于现代计算机的东西来。但是在当时
的技术条件下，一个二进位制的机器只会增加莱布尼茨的困难。为了使计算
器为一般人能使用，就需要更多的轮子，就会有更大的摩擦力，进行更多的
运算，而且不得不有一个特大的机器用于二进制和十进位制之间的换算。只
有随着电子学的发展、二进位制系统才有可能进入它自己的时代。
莱布尼茨第三个值得自豪和骄傲的业绩是他发明的机械计算器。1673
年，莱布尼茨到英国皇家协会做了一次拜访，随身带了他的机械计算器给他
们看，引起了皇家协会的极大兴趣。莱布也非常高兴，曾经想用一个刻有“超
人”字样的纪念章来纪念它，而且在很久以后，他又做了一台机器，它是为
彼得大帝送给中国皇帝而做的，用以证明西方具有高超的科学技术。这个计
算器的前身是1642年帕斯卡的加法计算器，莱布尼茨经过研究把它改进，使
这种手摇机械计算器不仅能进行加、减法演算，而且能完成乘法、除法、自
乘以及开平方和立方运算。他还发明了大量的装置，这些装置成为后来的技
术标准。他的这些计算器有一个被幸运地保存下来，现在存放在汉诺威国家
图书馆中。
莱布尼茨的计算器的直接功用是很明显的，它能节省相当多的劳动，提
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高会计、管理、测量、科学研究以及数学用表制作等工作的精确程度。这一
切比我们现在所能估计的意义大得多。
在巴黎的时候，莱布尼茨脑子里还装满了许多别的技术方面的设想。他
作了很大努力研制出一种在双马串联的马车中工作的带有两个对称摆轮的
表，于1675年4月在巴黎科学院展示了这种表的模型。他的其他设想还包括
有一种不用罗盘就能测定船只位置的装置；一种从单一的观察点出发就能确
定物体距离的方法；一种用来推动车辆或抛射体的空气压缩机；一种能在水
下航行以逃避敌人侦察的船只；一种无液气压表等等。
巴黎时期是莱布尼茨的黄金时期，但在科学发明上使许多科学家无法望
其项背。现在看来，莱布尼茨之所以能在不到30岁就对数学、科学的发展作
出如此巨大的贡献，不是因为他有什么“超人”的天才，而是在于他作为一
个青年人，较少保守思想，容易接受新事物。虽然学问不多，地位较低，但
是方法对头，具有宝贵的创新精神，敢于攀登前人未达到的高峰。这是人们
今天最应学习的地方。
正当莱布尼茨的科学事业飞速发展的时候，一个不幸的事件发生了，打
断了他的巴黎生活，就是1672年12月他的主要支持者博伊内堡去世，1673
年2月选帝侯也死了。莱布尼茨不得不考虑他的前途问题。1676年1月他接
受了德国汉诺威法院顾问的职务，同年10月离开了美丽的巴黎，绕道伦敦和
荷兰回到汉诺威。他在伦敦作了短暂停留。在阿姆斯特丹，他开始结识最先
使用显微镜的人——列文虎克。此外，他还在海牙见到了镜片磨制工和哲学
家斯宾诺沙，两个人进行了四天的热烈讨论。莱布尼茨一再要求阅读斯宾诺
沙的手稿，并终于看到了他的《论理学》手稿。尽管莱布尼茨本人有点儿不
愿承认，但他的思想所受斯宾诺沙哲学影响是无可怀疑的。当然他的思想确
实有和斯宾诺沙截然相反和对立的方面，但这也未尝不是从反面表现出斯宾
诺沙哲学的影响。
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四、图书馆长和采矿工程师 （1676——1686）
汉诺威政府是在神圣罗马帝国的维也纳皇帝有名无实统治下的一百个左
右独立国家中的一个典型，在这种情况下，国家的专制首脑，布伦瑞克——
吕南博格尔的约翰·弗里德里希公爵的行动要经过一个由大多数是较小贵族
和法学毕业生所组成的议会允许。莱布尼茨是其中的一员。由于莱布尼茨还
担任了图书馆长、政治顾问、国际通信者以及逐渐增多的技术顾问等特殊重
任，所以他从通常的议会职责中部分地解脱出来。
作为图书馆馆长，他的责任非常繁重，同时也是相当世俗的。图书馆是
知识的宝库、国家的知识基地，它代表着国家的知识