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这是到那时为止关于极限概念的最为清楚的定义，柯西关于分析学基础
的基本著作是：
① 《分析教程》（1821年），
② 《无穷小分析教程概论》（1823年），
③ 《微分计算教程》（1829年）。
通过这几部著作，柯西奠定了以极限理论为基础的现代分析学体系。当然，
用现代的标准来衡量，在柯西著作中的严格性是不够的，如用了“无限地趋
近”，“可以随意小”之类的语句表述极限概念尚显得模糊。后来，经过狄
利克雷、黎曼，特别是外尔斯特拉斯的工作，才使得分析学的现代形式终于
完成。外尔斯特拉斯思想清晰，善于澄清数学中一些基本而又模糊的概念。
1856年，外尔斯特拉斯在柏林大学的一次讲演中主张将分析学建立在算术概
念的基础上，提出了关于极限概念的“ε—δ”说法，对柯西的极限理论的
叙述施以“ε—δ”语言。这样，用“ε—δ”语言叙述分析学中一系列概
念，如极限、连续、导数和积分等，建立了现代分析学的严格体系。
1861年，外尔斯特拉斯构造出一个处处连续但处处不可微的著名函数例
子：
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为分析学中的许多问题必须借助于实数才能解决，如极限理论，连续性与可
微性等都与实数性质相关，所以为了保证分析学结论的正确，应当把分析学
理论完全建立在数的基础上，这样就要求有完整的实数理论。1872年，戴德
金出版了《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方
法定义了无理数，建立起了完整的实数理论，从而建立在极限理论基础上的
分析学形成了严密的理论体系。所以，1872年可以看作是分析学基础完成的
一年。
18世纪末到19世纪初建立了复数与其代数运算的几何表示，是复变函
数理论建立的一个重要步骤。复变函数理论的研究对象是复变数的函数，柯
西在建立严格的分析学理论的同时，为复变函数理论奠定了基础。1814年，
柯西在巴黎科学院宣读了复变函数理论的第一篇重要论文 《关于定积分理论
的报告》（1827年发表），开创了复变函数理论的研究。柯西在复变函数理
论领域作出了出色的贡献，他给出了柯西——黎曼方程，定义了复函数沿复
数域中任意路径的积分，并得到了复函数沿复数平面上任意路径积分的基本
定理 （即柯西积分定理），由此导出了著名的柯西积分公式
1 f（
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五、近代后期天文学
1。19世纪天文望远镜的进步
天文望远镜的不断进步对天文学的发展起着有力的推动作用。在 17世
纪，色差曾对天文望远镜的成象产生了严重的影响，后来牛顿指出望远镜的
色差是由于透镜对不同色光有不同折射率的缘故，他利用反射光原理制造出
第一台全金属反射望远镜，从根本上消除了色差。
反射式望远镜在18世纪发展很快。1781年，W。赫歇尔（1738—1822年，
英国）曾用一台直径15cm自制反射天文望远镜首次观测到天王星。这使他大
受鼓舞，接连磨制出口径不断增大的反射望远镜。1789年，他制成直径1。22
米，焦距12。2米的大型反射式望远镜，投入使用不久便观测到土星的两颗卫
星。这一成就奠定了赫歇尔的近代大型反射式望远镜开创者的地位。
1845年，帕森斯 （1800—1867年，英国）制成了直径达1。83米的金属
反射式望远镜，镜筒长度达到17米，它架在南北走向的两堵高墙之间，只能
在东西方向上略作调整。利用这台望远镜在观测星云M 时，首次发现了旋
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涡结构，后来又发现了几个类似的结构。后来帕森斯在观测M星云时发现它
1
的形状象一只螃蟹，便定名为“蟹状星云”。
为了使大型望远镜能够灵巧地运动，以便适应观测的需要，工程师纳史
密斯（1808—1890年，英国）和天文学家拉塞尔（1799—1880年，英国）对
大型望远镜作了大量改进。1839年，纳史密斯设计了一种转动机构，使观察
者只要坐在目镜旁边，转动手轮就能自由调节望远镜的位置和角度，从而观
察到天空的任意部分。
1846年，拉塞尔首创赤道式大型反射望远镜，直径为61厘米，配备了
跟踪天体周日视运动的机械装置，他用这台望远镜发现了海卫1。1851年，
他又相继发现天卫1和天卫2。1861年，他又研制了一台更大的赤道式反射
望远镜，直径达到1。22米。
折射天文望远镜在消除色差方面也取得了重要突破。1730年，数学家C。M。
霍尔（1703—1771年，英国）发现，用冕牌玻璃做凸透镜和火石玻璃做的凹
透镜构成透镜组可以消除色差。后来光学家多朗德（1706—1761年）详细研
究了消色差理论。由于当时无法制造直径大于十几厘米的大块优质玻璃，因
而限制了消色差折射望远镜的发展。
19世纪初，吉南德（1748—1824年，瑞士）利用匀均扰动玻璃液的方法
制成了大直径的优质玻璃。在此基础上光学家夫琅和费（1787—1826年，德
国）与他合作，共同制成一架消色差折射望远镜，直径达到24厘米，焦距4
米。这台望远镜也是赤道式的，配有跟踪装置。1847年，德国的默茨等人发
展了这一技术，他们研制出直径达到38厘米的消色差折射望远镜。这样，在
19世纪不仅有大型的金属反射望远镜，还有了大型消色差折射望远镜，从而
大大推进了天文学的发展。
2。对太阳系的深入研究
大型反射式天文望远镜和消色差折射望远镜的发展大大帮助了天文学家
对太阳系的深入观测，他们最关心的天体之一便是月亮。1839年，比尔（1790
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—1850年，德国）和马德勒尔（1794—1874年，德国）根据观测资料重新绘
制了月面图，他们正确地推测出月亮是一个无水、无空气、无生命的天体。
从1830年到1840年，比尔和马德勒尔对火星作了10年观测，他们在此
基础上绘成了火星全图，并在图上标有经纬度线。1868年，普罗克托（1837
—1888年，英国）根据新的观测结果重新绘制了火星图，他把图上微红的区
域定义为陆地，把广阔的暗蓝色部分定义为海洋。1876年，弗拉马利翁（1842
—1925年，法国）描绘了十分详尽的火星图。后来，人们才注意到火星上有
季节的变化，因为火星上那些斑痕的形状和色泽在不同季节里有明显的变
化。人们还注意到火星和地球一样也存在极冠，极冠随季节消长。火星与地
球的相似引起了天文学家的极大兴趣。
海王星的发现是19世纪行星研究的重要成就。早在17世纪天王星就被
多次观测过，布瓦尔（1763—1843年，法国）根据这些观测数据，在 1821
年编出天王星运行表。但他的表与1821年以后和1781年以前的观测值不相
符，到1848年与观测值在黄经度上偏差达2′之多。有人认为可能在天王星
之外还有一个未曾发现的行星，它有时扰乱了天王星的正常运行。英国青年
数学家亚当斯 （1819—1892年）经过5年计算，在1845年计算出了这颗行
星的轨道，他希望格林威治天文台帮助寻找这颗星，但没有得到响应。几乎
同时勒维烈（1811—1877年，法国）也在研究天王星的反常运动。1846年他
计算出这颗未知行星的轨道参数，同时将结果通知柏林天文台的加勒 （1812
—1910年，德国）。加勒当晚就用望远镜在勒维烈预告的位置附近找到了这
颗行星，海王星就这样被发现了。
海王星是天文学史上首次由理论计算预测到的天体，它是摄动理论的伟
大胜利。勒维烈受此鼓励决定重新计算太阳系各大行星的运动轨道，并编制
新的星历表。但是这一工作并不完美，其中最重要的误差是水星近日点在每
世纪里比牛顿理论推算的结果多前进了38″，勒维烈以为在水星轨道内必然
还有一颗未知的行星，但是后来始终未能找到它，直到本世纪初广义相对论
提出后，水星近日点的反常运动才得到合理的解释。
太阳系中，彗星也是引人注意的现象。由于18世纪对彗星轨道的成功计
算，使得这方面的研究工作十分活跃。1818年，恩克（1791—1865年，德国）
计算了一颗当年发现的彗星轨道，轨道周期是3年零106天，他还认为这颗
星与1786、1795、1805年观测到的彗星是同一颗星。这颗彗星就定名为恩克
彗星。此后，恩克彗星总是如预计一样如期而至，成为哈雷彗星之后第二颗
按预测回归的例子。1828年，当恩克彗星接近太阳时，慧头逐渐变小，人们
于是猜测它是否在宇宙中失去了一些物质。这一现象直到本世纪中期才得到
合理的解释。
1826年，比拉（1782—1856年，奥地利）发现了一颗彗星，后来定名比
拉彗星。桑提尼（1784—1877年）在计算时考虑了地球、木星和土星的引力
引起的摄动，从而得出比拉彗星在1