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理。
这一时期，数学的主要成果表现在符号代数、解析几何、微积分的早期
工作和对数方法等方面。
1。符号代数
（1）数字系统和数学符号
15世纪中叶以来，一大批欧洲数学家为修辞性代数向符号性代数的发展
作出了贡献。
中世纪后期，希腊—阿拉伯的数学知识已在欧洲传播。西班牙的摩尔人
学校中所使用的数学教科书被译成了拉丁文。巴思的阿德拉德把阿拉伯文的
《几何学原理》译成拉丁文后，很快就被作为大学的标准教科书。阿拉伯数
系也在欧洲缓慢地确立下来。皮萨的列奥那多（约1170—约1250年）曾从
北非的阿拉伯人那里学到了大量数学知识，并在1202年出版的算经中首先介
绍说，用9、8、7、6、5、4、3、2、1这9个数和符号0可以写出任何数。
15世纪，由于印刷术在欧洲的推广，许多古希腊数学著作得以出版。这
种情况推动了欧洲数学的发展。
文艺复兴时代的数学家为现代数学的符号系统奠定了基础。1489年出版
的一部算术著作中，使用了加法符号“＋”和减法符号“－”作商业方面的
计算。半个世纪后，荷兰的斯蒂文等人将其作为运算符号使用。到17世纪初，
这些符号得到了广泛的使用。1557年，有人提出了使用等号“＝”的建议。
大约过了 100年，这个符号被普遍接受。1631年，英国数学家奥特雷德
（William ，Oughtred1574—1660年）在《数学精义》一书中引入了乘法
符号“×”。除法符号“÷”出现稍晚，首先见于瑞士数学家拉恩（J。H。Rahn）
在1659年出版的著作中。17世纪初，哈里奥特（Thomas ，Harriot1560—
1621年）首先引进了“大于”符号“＞”和“小于”符号“＜”。法国学者
查克特在1484年的手稿中使用了根号。这种符号到16世纪初逐渐为人们所
认识。笛卡尔在 1637年把各种不同的表示代数量的幂的方法发展为指数记
号。意大利的帕齐奥利（约1445—约1514年）在其1494年发表的著作中，
对未知量及其幂、加和减等词使用了缩写。德国多明我会修道士约尔达努
斯·内莫拉里乌斯曾用任意字母代替词首或其他缩写方法，来标志已知和未
知的代数量。
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1585年，斯蒂文提出使用十进小数以取代六十进小数。他提供的书写十
进小数的方法是：在每个数字后面添一个指标，以表明它在个位数右边的位
置，如将十进小数0。3469写成3①4②6③9④，或写成3′4″69 。到17
世纪初，又出现了两种新的十进小数书写法，即苏格兰的纳皮尔（1550—1617
年）使用的在个位数后加一个点的方法，和法国的维埃特 （1540—1603年）
提出的以一个逗号为前缀的十进小数书写方法。
（2）维埃特
法国数学家维埃特在1591年出版的《分析术引论》中，系统地采用符号
来代替原先的缩写词以表示量和运算。由于对代数学发展的这一重大贡献，
他被称为现代代数符号之父。他还把代数应用到三角学，表明了怎样用代数
方法以各种方式变换各个三角比并使它们互相关联。他的《应用于三角形的
数学定律》也许是西欧关于如何利用6种三角函数解平面和球面三角形的第
一部系统论著。在方程理论方面，他提出了二次、三次、四次方程的解法，
给出了对不能直接求解的方程求近似根的法则。他逝世后出版的《论方程的
整理与修正》一书，总结了他在这个领域的工作成果。
维埃特被认为是法国当时最优秀的数学家。在西班牙同法国胡格诺派的
战争中，他曾利用自己的数学才能破译了被截获的西班牙军事文件。当时，
这份文件使用了复杂的密码，西班牙国王腓力二世曾认为这种密码是不可能
被破译的。所以，当腓力二世发现法国人已经了解他的计划时，便向教皇控
告对手使用了妖术。
维埃特还用无穷乘积来表示π，计算出了到小数第10位的π的值。
（3）塔尔塔格利亚、卡尔达诺和费拉里
发现三次方程的求解方法，是16世纪代数学的一大成就，而塔尔塔格利
亚 （1499—1557年）被认为是首先发现这一求解规则的数学家。
塔尔塔格利亚在1534年来到威尼斯，担任数学教师。在不久举行的一次
数学竞赛中，他使用了解三次方程的规则而获胜。但他当时没有公开自己的
解法。1537年，他的研究射击弹道的著作《新科学》出版后，米兰的数学家
和医生卡尔达诺（1501—1576年）要求他公开三次方程的解法。塔尔塔格利
亚以保密为条件将解法告诉了卡尔达诺，而卡尔达诺在1545年出版的《大衍
术》一书中发表了这个解法。
在卡尔达诺的书中，还有四次方程的解法。这是由他的学生费拉里（1522
—1565年）在塔尔塔格利亚的三次方程解法的基础上发现的。卡尔达诺自己
在方程理论方面也有成就，他研究了方程的负根和虚根，并预见到方程的根
与其系数之间的某些关系。他还写了一本关于赌博的书，最先较系统地计算
了一些概率。
费拉里出身贫寒，年仅15岁时就到卡尔达诺家当仆人，同时开始学习拉
丁语、希腊语和数学，1540年接替卡尔达诺在米兰的数学教师工作。卡尔达
诺的《大衍术》发表了他对四次方程的解法之后，他与塔尔塔格利亚之间就
谁首先解出三次方程的问题发生了争论。在1548年10月米兰的公开数学竞
赛中，费拉里获得了胜利。
2。解析几何
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解析几何亦称坐标几何，它采用代数的记号和方法来表示并解决几何学
中的问题，建立了几何曲线和代数方程之间的对应，从而使几何和代数的方
法和知识可以一起用来解决几何或代数中的问题。
古代巴比伦、埃及和希腊、罗马的一些数学家，已经知道图形的几何与
数的代数之间的某些对应，但那时的代数的记号和方法尚处于比较原始的状
态，那时的数学家也还处于对现实世界的完全依赖和附属的状态，因此，建
立几何与代数之间的对应的工作受到了限制。
直到17世纪初期，由于代数学渐趋完善并日益成为研究自然科学的重要
工具和手段，解析几何的发展出现了一个突进。
（1）笛卡尔的 《几何学》
1637年，笛卡尔的《几何学》作为其《方法谈》一书的附录而问世。《几
何学》的第一和第二部分论述解析几何，第三部分论述方程理论。
笛卡尔把代数思想和记法引进了几何学。他用字母标示直线段，通常用
a，b，c……标示已知的或变化的线段，用x，y，z标示未知的或变化的线段，
构成了字母或字母组合的乘积和幂，采用了至今还使用的那种书写指数的系
统。他使用分析法来解几何问题。这种方法假定问题已经解出，然后写出在
作图中涉及到的各种直线的长度之间必定成立的全部隐关系，每一个关系都
由一个方程表示，因而该问题的解便归结为所有这些联立方程的解。
笛卡尔的解析几何学的基本概念，是二维平面上的点与有序实数偶之间
的对应，获得这种对应的办法，是使平面上两条相交直线与点一起成为一个
坐标系。在这个平面直角坐标系中，每个点有一个以有序实数偶 （X，Y）为
标志的唯一表示，反之，每个有序实数偶表示一个唯一的几何点。在建立起
点与有序实数偶之间的这种对应之后，几何曲线与代数方程之间的关系便十
分清楚。例如，给定一个简单的线性方程，就有与它相对应的几何曲线，这
条曲线由平面上所有的其坐标 （x，y）满足这个方程的点所构成。相反，给
定了一条几何曲线，也就有与它相对应的代数方程，使其所有点的坐标满足
这个方程。
（2）费马的创见
与笛卡尔同时代的法国数学家费马（1601—1665年）也独立地发明了把
代数应用于几何问题的方法，提出了用可以导出曲线特征性质的方程来表示
曲线的思想。
费马的职业是律师，曾担任图卢兹议会的顾问，数学是他的业余爱好。
在研究古代几何学的基础上，他发现，如果通过坐标系把代数运用于几何，
将使轨迹的研究更易于进行。在 《平面和立体的轨迹引论》这部著作中，费
马提出，使两条直线彼此成一定角度，最好是直角，将其交点作为原点，使
离原点的距离分别同方程的两个变元成正比，就能方便地表示出方程。在他
的著作中，还第一次出现了表示一条通过原点的直线的方程。他还用自己的
符号写出了抛物线方程和等轴双曲线方程。
费马也是最早发现极大值和极小值问题的一般解法的数学家之一，并因
此而对从解析几何向微积分的过渡产生了推动作用。费马生前发表的研究成
果甚少，他的大部分著作和学术通信都是在他逝世后才出版的，上述《轨迹
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引论》就是在1679年问世的。
（3）德扎尔格的方法
当笛卡尔和费马发现解析几何学的基本原理时，另一个法国数学家德扎
尔格（1591—1661年）也提出了一些对几何学日后发展具有重要意�