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充分应用。
但是，三分损益律与纯律都是不平均律。它们不能旋宫转调。这是因为，
依照它们的定律法得出的十二个音，音程大小不一。若要把它们应用到固定
音高的乐器上，并想在这种乐器中得到十二个高度不同的调，几乎是不可能
的。这些具有固定音高的乐器只能适用于和它们具有相同音程的音阶，只能
奏出某种调式。演唱者若有变调要求，乐器也要立即随之更换。音乐艺术的
发展，要求人们对音律加以调整和改造。为了达到旋宫转调的愿望，对平均
律的实践与理论探求，就一直成为人们心目中的奋斗目标。
汉代，著名易学家京房是追求平均律理想的先驱，他对“周而复始、旋
相为宫”的问题进行了探索。为了达到使黄钟起始律“回归本律”的目的，
京房在按“三分损益”的传统方法生律十一次后继续生律，直到六十律。京
房“六十律”所采用的是八度内音律制减少始末律间律差的方法。
以后，南北朝何承天为解决京房“六十律”对遗留的一个“微小音差”，
作了进一步研究，提出了新律制，即将三分损益律的古代音差平均分为十二
份，然后将这平均数 （0。01）累加到十二个律上，使十二律在差部分形成一
个等差数列。这样，他在长度计算音律方面实现了旋宫的愿望，其效果很接
近十二平均律，一般人的听觉几乎不能辨别其间的差别。但它仍然不是真正
的十二平均律。因为十二平均律是一种等比律，而何承天的新律只是在特定
长度内的等差律。
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3
在何承天之后，隋代的刘焯打破了三分损益的传统，他以系数 n构成
7
振动体长度的等差数列，企图以此达到旋宫的目的。实际上，刘焯不仅不能
旋宫，而且十二律的音高也混乱了。虽然如此，他大胆地违背三分损益的定
律法却是个创举，他为后人创建平均律提供了一个可贵的失败的例子：以等
差数列的方法不能完成平均律。
五代时，律学家王朴也曾从“加减进退”的方法来缓解十二律不能“周
而复始”的矛盾；宋代蔡元定也提出“十八律”来求得黄钟“回归本律”。
在平均律的探索史中，我们要特别提出这样一种思考方式：三分损益法，
即2/3，4/3，人们可以将这二个分数改写为50/75，100/75；或者500/750，
1000/750，因为它们都是等效的。但是，如果将后两个分数中的分母作适当
的调整，即将其分母减去1，使之成为500/749，1000/749。这样一来，三分
损益律就倾向于平均律了。我们暂且把这种定律法称之为“749定律法”。
《淮南子·天文训》中定黄钟数81，计算中取整数值，它所计算得到的十二
数值与三分损益法稍有不同。朱载堉对此作了详细验证，其结果是，《淮南
子》或者采用了4舍5入的简便方法，或者采用了“749定律法”。因此，
朱载堉指出，平均律的定律思想，“非自古所未有，疑古有之，失其传也”。
这一有关平均律的起源问题，是朱载堉最早发现的。
朱载堉没有遵循“749定律法”这条思维线路而创建十二平均律，而是
打破了传统的律学思维和方法，提出了新的数理概念和计算法，创立了“新
法密率”——一十二平均律这一划时代的律学理论，解答了千年来的律学命
题，不仅给中国古代律学史的终端画下了一个圆满的句号，而且也为世界音
律学理论开创了一个新篇章。
朱载堉创建新法密率时，提出了音与数的辩证关系，认为音与数要相吻
合，但又不可执一，之间可以变通。这就为他不用三分损益法提出了理论根
据。
朱载堉十二平均律理论的创立是合理的和必要的。一方面，由于“平均
律”命题的发生和近千年来不断地追求和探索，反映了古代律学家的强烈愿
望，对它的解答是必然的；另一方面，在中国封建社会晚期的明清两朝，学
术界通过表面的复古形式，对大量的古代经典进行整理、鉴别和考证，引起
了对传统文化的怀疑、批判和再认识。朱载堉对传统律学的重新认识、理解
和总结，以及进一步批判和扬弃以往律学从未摆脱“三分损益”生律法来追
求“平均律”的思维方式，正是在这样的历史背景下萌发起来的。
关于新法密率，朱载堉在《律吕精义》中清楚地写道：度量长度的标准
尺是起源于黄钟律的长度，因此黄钟正律的长度，也就是长度标准的一尺。
2
设一尺的平方（100寸 ）为黄钟正律的冥数，那么，如果依勾股定律，以勾
2 2
10寸自乘，得100寸 为勾冥，以股10寸自乘，得100寸 为股冥。将勾股
2
二者冥数相加，得弦冥为200寸 。这样一来：
2 2
10
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该值为南吕倍律的数值。再将南吕倍律之值乘以勾10寸，乘股10寸，得三
次乘积 （即立方积）数值；然后将立方积开立方，得：
3 4 12
10×10×10 2 = 10 2 = 1。059463 （尺）
该值为应钟倍律的数值。十二律黄钟为始，应钟为终，周而复始，循环不止。
这是自然真理，就像 《易经》八封中的贞后元生、坤尽复来一样。因此，如
果要计算十二律中某律的数值，只要以比某律高一律的数值乘以黄钟正律10
寸，再除以应钟倍律数10。59463……寸，就可以得到某律。其它各律依此类
推。那里会有往而不返，不旋宫的道理呢！
朱载堉将表示八度音程的弦长比2开平方、又开平方、再开立方，得到
了2的12次方根的数值1。059463……。这个值就是通常所说的半音，我国
传统说法称之为应钟律数。然后，朱载堉将八度值2连续除以应钟值，累除
十二次，就得到了相应的平均律中八度内十二个音的音高。因为朱载堉将八
12 12
度值2累除以 2 （应钟值），因此，这个平均律实际上就是以 2为公比数的
等比数列。朱载堉将这个公比数称之为“密率”。现在，我们将朱载堉“新
法密率”的详细计算结果列于下表中。
朱载堉的十二平均律
倍律
律名 正律
计算结果 计算方法 今日音名
12/2 2
黄钟 1 2 2 C
2 11/ 12 1
大吕 0。9438741。887748
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人们只要利用他的方法、甚至搬用他的数据结果，就可以制出所期待的任一
种符合十二平均律的乐器如钢琴之类，而不管人们愿意取黄钟宫音的绝对高
度是多少。
朱载堉还经过多次检验，证明了“密率”在理论上的严密性、科学性和
正确性。为了检证“密率”，朱载堉还研制了“均准”测律器，并亲自校点
笙来验证“密率”。同时，他还提出了“异径管律”理论，为了这项研究工
作，亲自动手种黍、裁竹制管。这些都是他重视律学实验的例证。正由于严
密、正确的数理思维方法和重视实验的治学态度，保证了朱载堉计算“新法
密率”的精确性和合理性。
朱载堉的“密率”体现了一代代中国律学家的愿望，完成了人们长达十
几个世纪的宿愿。这项成就，在中国音乐史、律学史以及算学史上都具有划
时代的伟大意义。但由于中国古代的五声单音体系、民族乐器的音律设置，
再加上朱载堉创立“密率”的个人意图等因素，在当时的中国音乐实践中，
对十二平均律的应用不是很迫切，所以朱载堉的新律在当时音乐实践中并没
有推广使用。更为遗憾的是，昏庸、愚昧的封建朝廷当时只关心“八股举士”
的科举，当其中包含着“新法密率”的《乐律全书》呈献给朝廷时，竟遭到
了冷遇。对此，朱载堉早有预料。他的“新法密率”就像那愚昧社会中将要
脱胎的孩子一样，躁动母腹，急不可待，仿佛就要堕地大喊。而母亲在兴奋
一时之后更多地却又害怕他的诞生，她自信腹中孕育着一位天才、伟人，但
她却要勒紧身带，并为他的未来忧心忡忡。在三分损益律被崇拜为神圣法则
的时代，新法密率的诞生确实使朱载堉愁过于喜。
朱载堉创造的如此伟大的业绩，就连《明史》也将其拒之门外。这颗科
学和音乐艺术的明珠，就这样被埋没在知识荒漠的王宫殿堂里。尽管朱载堉
在他的书中一再呼吁