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“理数极精，古今历无过之者”为由反对改革祖宗之法，所以改历之事一直
束之高阁。这样年复一年，恪守旧法之风益甚，造成了官方历法研究死水一
潭的状况，用明孝宗的话说，已经形成了“朝士鲜知星历者”的可悲局面。
朱载堉正是这样的历史背景下，开始他的天文历法研究工作的。首先朱
载堉要冒很大的风险才能从事天文历法的研究，没有足够的胆识是不敢问津
天文历法这一禁区的。其次，朱载堉必须突破祖制不可变的思想藩篱，与盲
目迷信授时历或大统历的社会思潮相抗争。如果没有这样的精神，即使涉足
于天文历法这一领域，也将一事无成。再者，朱载堉面对着朝野人士对于天
文历法基本无知的形势，他必须从头开始，靠自己的努力，一点一点地学习、
摸索，以期解其术、通其法，进而“采众说之所长”，并力求达到“青出于
蓝而胜于蓝、冰生于水而寒于水”的新境界。为此，朱载堉不知付出了多少
辛勤的汗水。
朱载堉从研究史志所载各家历法入手，步入天文历法领域。通过刻苦的
学习和研究，先后编撰了两种历法——黄钟历和圣寿万年历。
黄钟历和圣寿万年历均取中国古代传统历法的经典形式。黄钟历共分九
篇，分别解决24节气、72候的计算；月朔和闰月的安排；每日日影长度、
漏刻更点和南中天星象的推求；日、月交食的预报，日、月五星运动的计算
及其在恒星间所处位置的预报等等天文历法问题。圣寿万年历与之大同小
异，共分八篇。这两种历法，除所设历元不同，和因此导致的若干天文数据
有所变化外，和授时历并无重大的差异。
从表面上看，黄钟历和圣寿万年历分别取万历九年（1581年）和嘉靖三
十三年（1554年）为历元。但实际上在进行各种历法问题的具体推算时，黄
钟历是以1581年前的300年，即1281年为实际历元，而圣寿万年历则是以
1554年前的4560年，即公元前3007年为实际历元。
黄钟历和圣寿万年历对授时历最有意义的修正，是关于回归年长度及其
古今变化的研究。
我们知道，回归年长度 （T）并非恒量，而是一个随时间而变化的变量，
任一年 （t）的回归年长度值可由下式表达：
T=365。24219878…0。0000000614（t…1900）
这是由现代天体力学推导出的理论公式。
在我国古代，关于回归年长度古大今小的概念，是由南宋天文学者杨忠
辅首先提出的，在他的统天历中，他建立了求任一年回归年长度值的公式：
T=365。2425…0。000002116（t…1195）
元代郭守敬等人，接受了杨忠辅的这一概念，并在他们的授时历中给出
了经过修正的新算式：
T=365。2425…0。0002t
0
式中t为以1281年起算的整世纪数。
0
朱载堉批判地继承了杨忠辅、郭守敬等人的成果，建立了回归年长度古
今变化的新公式：
在黄钟历中，设实际历元 （1281年）的回归年长度为365。2425日，
T=365。2425…0。00000175（t…1281）
在圣寿万年历中，设实际历元（公元前3007年—公元1554年前的4560
年）的回归年长度为365。25日，
T=365。25…0。00000175（t＋3006）
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这两个公式基本上是等价的，依之计算，T值仅有约0。000002日之差。
这样，朱载堉纠正了郭守敬等人回归年长度消长法的不当之处，在探索
回归年长度古今变化规律的道路上又迈进了一步。
在编撰黄钟历的过程中，朱载堉几乎对古代历法的所有重要问题都作了
评述，其心得载于《黄钟历议》之中。后来在编撰圣寿万年历时，他又对历
代冬至时刻、晷影测量和交食记录作了详细的考证，而写成《万年历备考》。
这些研究工作的方法，正如朱载堉自己所说的是：“辑名历五十家，倾心考
证，时刻分秒，期吻合于玑衡”，其目的则是“采众说之所长，羽翼大统，
广其未备”。
《黄钟历议》共有36篇，其中前12篇主要论述音律与历法的关系，后
24篇则论述历法的各种问题，并对地理纬度测量新法进行了探讨。
在编撰圣寿万年历的过程中，朱载堉又进行了许多天文历法的研究工
作。特别是对冬至时刻和交食的分析测算。冬至时刻的测定，也就是24节气
的测定，它与农业生产有较密切的关系。而交食是最明显的天象之一，其预
报准确与否，是检验历法的最可靠方法。朱载堉对这两个重要问题进行了深
入的研究，其成果就是《万年历备考》中收载的《诸历冬至考》、《二至晷
景考》和《古今交食考》等3篇专题论文。
朱载堉深知历法“欲求精密，则须依凭象器测验天文，积日累月，务得
其实，而后缀以算术，立为定法，方可成一代之懿制，传之万世而无弊也”。
可是，朱载堉所面临的现实却是“仪表之具，生来目所未睹，况能知其距度
之疏密，展次之广狭乎”。这无疑限制了朱载堉天文才能的施展。虽然如此，
朱载堉还是作了力所能及的努力，他动手制作了一些小型的天文仪具，设计
了新的测量方法，取得了很好的结果。朱载堉的天文历法工作不只在于历法
的编撰本身，还在于他吸取了先辈天文历法家许多宝贵的思想和成果，并加
以发扬光大，不但给当时处于凋零枯萎的天文历法界注入了生机，也为后世
天文历法的发展开拓了道路。
五、数学研究
由于朱载堉要确定律管的内外周、内外径、横截面和容积，圆周率取何
种数值，是一个很重要的问题。朱载堉在 《律吕精义》中叙述了“新法密率
算术周径冥积相求”之法，在这里，设径为d，周为I，面积为S，按照朱载
堉的说法，则径求周为：
40 d2 / 2
I =
9
周求径为：
2
9I
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的径率即圆周率，其值为
40
π= = 3。1426968
92 ＋ 92
他把这个数值称之为“周公密率”。
由此看出，朱载堉的“周公密率”远不如祖冲之推算出的圆周率精确。
因此，他的关于律管的圆周、面积和容积的计算值也就有误差。可是，在实
际使用上，在以寸为单位测量时，毫位数（小数点下三位数）已是估计值了。
因此，朱载堉的圆周率数值并不影响他制造发音准确的律管。
朱载堉在数学研究过程中，使用算盘完成了包括开方在内的大量计算。
数学与算盘是他从事乐律研究的翅膀。他完成十二平均律之时，也就是他运
用算盘进行开方运算成功之日。
一尺为九寸，一寸为九分，称为九进尺。这种尺，一尺中共81分。在朱
载堉的《乐律全书》中称它为“纵黍律尺”。据传说，古代人以黍粒纵排81
粒，刚好为一乐律尺。一尺为十寸，一寸为十分，称为十进尺。这种尺，一
尺中共有100分。在朱载堉的《乐律全书》中称它为“横黍度尺”。因为它
是以黍粒横排百粒，其长度刚好与日常用尺相同。传说，在先秦时期，日常
用尺与乐尺相等长度。也就是，一纵黍律尺等于一横黍度尺，这两种尺的长
度相同而进位不同。
《乐律全书》中指出了三种不同进位尺：横黍尺即平常十进尺；纵黍尺
即九进尺，斜黍尺即混合进位尺。它是以斜排黍粒90粒而得到的一种尺，称
为“斜黍九十分尺”。它的尺单位长度与横黍尺、纵黍尺相等，但尺以下各
单位为每尺九寸，每寸十分。朱载堉在这里的数学贡献是用算盘完成了九进
制和十进制的小数换算，在数学史上是一项开创性的工作。
朱载堉的最后一项数学工作是他找到了计算等比数列的方法，并成功地
将它应用于求解十二平均律。这一点在数学史和律学史上都是有意义的。朱
载堉在《律学新说》和《律吕精义》两书中是采用一种数学表达方式来叙述
十二平均律的，这就是：将八度音程比值2进行12次方根运算，第12次方
根值即是十二平均律的半音音程；既求得半音音程，那么，只要将起始音音
高除以半音音程值，连续作这样的12次运算，就得到了十二平均律的各个音
高值。实际上，这就是在八度中构成等比数列的方法。
六、物理学
在声学方面，朱载堉对乐器的共振现象作了细致的分析。在今天看来，
二个音的振动频率成整数比或简单分数比，就可以发生共振，在音乐学上，
就能产生悦耳的和声效果。在朱载堉看来，成整数比的二个音称为“正合”，
成简单分数比的二个音称为“旁合”，并且说，“旁合为和，正合为同”。
“正合”也称为“应”，“弹宫宫应，弹徵徵应，日应；弹宫徵和，弹徽商
和，日和。”他又说，“凡丝弦之属，宫与宫协为正合 （商以下做此）；宫
与徵协为旁和（商与羽协，羽与角协做此）。正合为同，旁合为协。”“筝
弦隔六为正合，隔三隔四为