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确定的、合理的比率相关。关于这个趔的知识借助三个分别为3，4和5个长度单位的相关联的绳索立桩标出直角。等式3＇2＇＋4＇2＇＝5＇2＇现在引起注意，已证明它的类似物对于具有长度a，b，c的边的所有直角三角形都是有效的（一般公式是a2＋b2＝c2）。众所周知，这一关系多么深刻地进入度规几何学中，距离的所有间接测量如何可以追溯到它。我们将努力揭开这个关系的基础。
第三十三节
首先必须评论一下，对于所谓的毕达哥拉斯定理，无论希腊的几何学演绎还是印度的算术演绎，都无法避免考虑面积。所有演绎依据的、在整个演绎中以不同形式本能地出现的一个本质之点如下：如果使三角形a，b，c（图17） 在它自己的平面上滑动一个短距离，那么可以设想，它留在后面的空间被它占有的新空间弥补或补偿。这就是说，边中的两个在位移时扫过的面积等于第三边扫过的面积。这个概念的基础是三角形面积守恒的假定。如果我们把面看作是十分微小的、但不改变第三维厚度（为此这在目前的关联中不产生影响）的物体，那么我们将再次具有作为我们根本假定的物体体积的守恒。相同的概念可以应用到四面体的平移，但是它在这个例子中不导致新的观点。体积守恒是刚体和流体通常具有的性质，被旧物理学理想化为不可入性。在刚体的情况下，我们具有所有部分之间的距离保持不变的附加属性，而在流体的情况下，刚体的性质仅就最小的时间和空间元才存在。
第三十四节
如果使具有边a，b，c的斜三角形在边b的方向上位移，那么根据上面叙述的原理，仅仅b和c将描绘出等价的平行四边形，这些平行四边形在相同的平行线上的相等的一对平行边方面是相同的。如果a与b成直角，且把三角形与〔成直角地移动距离c，那么边c将描绘出正方形c2，而另外两个边将描绘出平行四边形，其组合面积等于正方形面积。通过刚才在先的观察，两个平行四边形分别等价于a 2 和b 2 ——以此便达到了毕达哥拉斯定理。相同的结果也可以通过下述程序得到（图18）：
首先使三角形与a成直角地滑动距离a，然后与b成直角地滑动距离b，在这里a 2 ＋b 2 将等于c扫过的面之和，该和显然是c 2 。取一个斜三角形，与刚才完全相同的程序容易且明显地给出比较普遍的命题c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos γ 。
第三十五节
因此，三角形第三边对于另外两边的依赖由被围住的三角形的面积决定；或者，用我们的概念来讲，由包含容量的条件决定。也能直接地看出，上述的等式表达了面积的关系。确实，也可以把两个边之间所夹之角看作是对第三边起决定作用，在这个案例中等式将明显地呈现截然不同的形式。让我们略微仔细地考察一下这些不同的度量。如果两条长度为a和b的直线之端在一点相交，那么把它们的自由瑞连结起来的线〔的长度将包括在一定的限度之间。我们将有c≤a＋b和c≥a－b。仅仅形象化不能告知我们这个事实；我们只能从思想中的实验——基于有形实验并再现它的一种程序——获悉它。例如，这一点将通过抓牢a并转动b，首先直到它形成a的延长部分为止，其次直到它与a重合为止。直线原本是由心理性质刻画特征的唯一具体的图像——我们能够从具有确定特点的物体中得到这一图像，它以具有无限小但却恒定的厚度的绳子或金属线的形式把容量的最小值插入它的端点的位置之间——只能够以一种唯一决定的方式完成它。如果几条直线通过一点，那么我们用它们的方向从心理学的角度在它们之间进行区分。但是，在通过关于物理对象的度规经验得到的抽象空间中，不存在方向的差异。通过一点的直线在抽象空间中只能借助在它之上指定第二个物理点来完全决定。定义在方向上恒定的直线，或者把角定义为方向之间的差异，或者把平行直线定义为具有相同方向的直线，就是在心理学上定义这些概念。
第三十六节
当我们开始在几何学上刻画或决定被形象地给予的角时，各种不同的方法供我们支配。当距离在两个固定点之间被指定，而使每一点在交点之外置于角的分离的边之上时，角就被决定了。为了使定义变得一贯，可以选择位于距顶点相同的和不变的距离的点。于是，相互并排地处于与它们的顶点重合的同一平面的给定角之等倍数，不能用这些点之间的距离的相同等倍数来量度，这种不方便的理由在于，这种决定角的方法未被引入初等几何学。当使角截取的圆周或圆面积的除得尽的部分与它在中心的顶点都处在圆的平面上时，通过选取该部分便得到更简单的度量、更简单的角的特征。在这里所包含的约定是比较方便的。
在利用圆的弧决定角时，我们再次仅仅度量容量，即由具有简单的确定的形式的物体占据的容积，而该物体是在距顶点等距离的角的臂上的两点之间被引入的。但是，单纯的直线距离能够刻画圆的特征。两种量度，即直线的长度量度和角度的量度，原则上是作为基本的量度使用的，其他量度都由它们推导而来，这是一个明白、直接的问题以及由此导致的简易和方便的问题。这决不是必要的。例如（图19），在没有特定的角的量度的情况下，可以用下述途径决定直线与另一条直线成直角地相交：使它的距第一条直线上的两点等距离的所有点处在距交点相等的距离。能够以完全相似的方式决定角的平分线，通过连续的平分能够得到我们希望的无论多么小的角的单位。与另一条直线平行的直线能够作为一个来定义，通过全等的曲线或直线路线能够把另一条直线的所有点转化为第一条直线的点。完全可能仅仅从直线段开始作为我们的基本量度。设给定一个固定的物理点a。另一点m距第一个点的距离是r。于是，这最后的点还能够处在围绕a以半径r。描绘的球面的任何部分。如果我们还知道再一个点b，并把m移动距b的距离为rb，那么三角形abm将是刚性的、被决定了的；但是，m还能够在通过三角形绕轴ab转动所描绘的圆上旋转。如果现在把点m牢牢控制在任何位置上，那么上述三点a，b，m所属的整个刚体也将被固定。
第三十七节
因此，距空间中至少三个固定点a，b，c的距离ra，rb，rc在空间上决定了点m。但是，这一决定还不是唯一的，因为具有棱ra，rb，rc的棱锥——m处在这个棱锥的顶点上——也同样能够在平面a，b，c的一侧构造，就像在该平面的另一侧构造那样。如果我们必须固定该侧，比如说用特殊的记号，那么我们应该诉诸生理的决定，因为在几何学上平面的两侧并非不同。倘若点m被唯一地决定，它距位于平面abc之外的第四点的距离rd必然附带地被给定。另外的点m’以相似的完成方式被四个距离r’a，r’b，r’c，r’d决定。因此，m距m’的距离也由这一决定给出。像各自被四个距离决定一样，同样的结论对于任何数目的其他点都为真，在四点之间，4（4…1）/1。2＝6的距离是可以料到的，要决定点的复合的形式，正好必须给出这个数。对于4＋Z＝n 点，6＋4z或4n－10的距离需要决定，尽管更大的数即n（－1）/1。2的距离存在着，以致距离的超过量也被同时决定。
第三十八节
如果我们从三点开始，并规定要进一步决定的所有点的距离将仅仅对于由三点决定的平面的一侧有效，那么3n－6的距离将足以决定n个点的系统相对于三个初始点的形式、大小和位置。但是，如果不存在关于所选取的平面之侧的条件，即包含感觉的和生理的特征但不包含抽象的度规特征的条件，那么点系统而不是预期的形式和位置，可能呈现对于第一个的点对称或者由二者的点组合。由于我们对称的生理组织，对称的几何图像很容易被认为是相同的，尽管它们从度规和物理的角度来看是迥然不同的。向右旋绕的螺丝和向左旋绕的螺丝、两个在相反方向旋转的物体等等，在我们的眼睛看来似乎是十分相像的。但是，我们为此理由都不容许把它看作是在几何学上或物理学上等价的。注意到这一事实会防止许多悖论问题。仅仅想一想这样的问题给康德带来的麻烦吧！感觉的生理属性由相对于我们的身体、特殊构成的肉体系统决定；而度规属性一般地由物理物体的世界决定。后者只能由重合实验即测量来确定。
第三十九节
正如我们看到的，每一个几何学的测量归根结底都可以还原为容量的测量即物体的计数。长度的测量像面积的测量一样基于每一个细绳、细棒和恒定厚度的叶片的容量的比较。这与下述事实没有不符之处：面积的度量在算术上可从长度的测量推导出来，或者立体的度量可仅仅从长度的度量或从与面积的度量结合的那些度量中推导出来，这只不过证明了，容量的不同度量是相互依赖的。断定这种相互依赖的形式是几何学的基本目标，正如断定各种计数操作或心智的排序活动关联在一起的方式是算术的本分一样。
第四十节
极其可能的是，视觉的经验是几何学发展急剧的原因。但是，我们从目前光学技术的发达状态获得的对光线性质十分熟悉，不应该误导我们认为我们关于光线的经验知识是几何学的主要基础。在充满灰尘或烟雾的空气中的光线提供了极妙的直线形象化。但是，我们不能从光线推导出直线的度规性质，恰如我们不能从想像的直线推导出它们一样，为此目的，与物理对象有关的实验是绝对必要的。实际几何学家的拉长的绳索肯定比经纬仪