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，31写成 ，一般都是高位数写在每低位数的左边。100以上的数
字，则采取另外的基本符号，如100是用 表示，在表示100的倍数时，
倍数符号则写在表示100的符号之前，如300应写成 ；1000写成 ，
它又属于另外的基本符号，如 表示10×1000，而不是指20×100。
古代两河流域人的记数有时采用十进位，有时采用六十进位，有时甚至
两种进位制混用六十进位的方法是他们的独创，这大概与60这个数字是许多
简单数字的倍数有关，如：2、3、4、5、6、10、12，另外使用六十
1 1 2 1
进位制可使一些较大单位的 ， ， ， 等小单位，在转化为较大
2 3 3 10
单位时，成为整数，还与他们天文学上把黄道分为 12个星座，历法中每年
12个月有关，因为60恰好是12的5倍，5又是按手指计算的常用数目，60
自然成为进位制的数目。美索不达米亚人是世界上最早运用进位值的，进位
制的运用在数学史上具有重要意义的，因为在此之前，十、百、千等都需要
用新的符号表示，即使是不太大的数目，也得用几个符号、几位数字加以表
示，如古代罗马人不懂得数字位值的概念，他们在表示简单数字时，也显得
十分麻烦，比如他们表示数字4272，是用MMMMCCLXXII，其中M代表千代表
百，L代表五十，X表示十，共用了五种符号，十一位数字。而美索不达米亚
对数字的表示则简单和科学的多，比如他们写出■=3600＋600＋60＋10＋2。
由于每个符号所处的位置不同，它们所要表示的数量也就不同，同是一个
“■”表示了三种不同的量（1，60，3600），同一个■则表示了两种不同的
①
量（600与10），如此长的数字却仅用了两种符号、六位数字。当然这种数
① 参见袁小明《数学史话》，山东教育出版社1985 年版。
① 参见涂厚善《古代两河流域的文化》，商务印书馆1964 年版。
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字位值的概念还不十分的清晰，如像最后面的两个1，位置显然是一前一后，
却代表了同一的量，但毕竟这里的人们是最早发明位置制的，后来印度人对
这种方法加以改进，则成为我们今天记数的基本方法，千百十位数概念的发
明，使得庞大的数目可以简单的符号加以表示，同时也十分便于运算。
（2）计算方法和数学用表
从一个包括44块泥版的数学文书中，我们可知道早在公元前2000年左
右，美索不达米亚人已掌握了加、减、乘、除的计算方法，特别是他们发明
的乘法，比起古埃及人的“倍乘迭加法”，则显得进步得多，他们是利用乘
法表进行运算，其乘法表记录的是某个数，从1乘起，分别乘到60的全部答
案，运算时可根据需要从不同的表格中寻找答案，如果无法直接查出答案，
则分解开来再进行运算，如54×27，则是先求出54×20，再求54×7，最后
将两个结果相加，只要所求算式中的数目能在表中查到，通过查表和适当的
加法运算则不难得出所算的结果。当然比起九九表，这种表还显得落后，不
像九九表那样，具有普遍性和便于诵读的特点，但它毕竟使乘法变得较为简
捷。
除此之外，美索不达米亚人还经常把一些平方的结果写在表上，以便查
寻，并懂得将“平方表”的使用过程倒过来即为“开方表”，可见当时他们
已可以进行一些开方的运算了，对于无法通过查表得出平方根的数，他们则
b
采用近似公式 A
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虽然美索不达米亚人的数学还处在偏重实用性的计算阶段，尚不具备数
学本身应有的理论的严密性，但它却为严密数学理论的形成，打下了坚实的
基础。
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4。文字的发明与书写技术
文字是人类进入文明时期的主要标志之一。文字的发明给人类的生活带
来了新的曙光，有了文字人类的科学技术才能记录下来，并在空间和时间上
得到更好的传播。世界上最古老的几种主要文字有：苏美尔文、埃及文、印
度梵文和中国汉文等，它们基本上都是起源于图画，后发展为书写文字和拼
音文字，但这些文字却各具特点。
（1）楔形文的起源与发展
考古学家曾在乌鲁克城发现了公元前3200时苏美尔人的文字，这种文字
最初是写在泥版上，笔划呈现楔形，因此常被称为“泥版文书”或“楔形文
字”。其实这种楔形文字开始也是一种象形文字，是用图画符号表示它所要
记述的事情，如 代表“鸟”， 代表“鱼”， 代表“谷物”等。这
些词十分形象、易懂，多被用于挂在农产品的货袋上作为一种货物的标签，
还被用于记帐等，随着社会的发展，人们交往的增多，所要表达的事物亦越
来越复杂，简单的符号已不够用，人们便在原有的符号上，加些标记，使之
成为新的符号，如在表示“头”的人头形符号上加上一个代表颏部的特殊的
线纹，则变成了口的符号，但字符的增加往往给人们的记忆和书写带来一定
的困难，加上有些抽象概念仍不能用图形表达，这种象形文字便开始产生变
化，首先是向简化方面发展，以局部图形代表整体意思，如用星星的符号
代表“天”，用牛头的符号 代表“公牛”等，再就是一种符号代表多重意
思，即除表示图画的事物本身外，还表示与这事物有关联的一些意思，如犁
①
的符号除了表示犁外，还有“耕田”“耕者”等多种意思。有些象现代汉语
中，每一字代表了若干相关连的话或观念，如代表“口”的符号，即可用作
动词的说，也可用作名词的口，而“足”的符号即可代表“立”，也可代表
行。这类符号都是从图形中引伸过来，且已由原来的象形文字发展为表意文
字。
由于这类符号所表示同一事物的符号趋于固定，某一种符号就渐渐代表
了某一种事物的名称的音读，如“一束葱”的符号为■，此符号除了表示葱
外，还可以表示葱的音读cym，因此同声的词往往还可用同一个字符，这样
便产生了谐声文字，即用符号代表声音，例如苏美尔语中把箭字读为提音，
同时这个音也代表了生命之意，因为一支箭的象形符号分别代表了箭和生命
两重意思。表意文字和谐音文字的出现，使符号的数目减少，而所要表达的
意思却大大增加了，这是楔形文字发展进步的重要标志。
在乌鲁克时期，苏美尔文的字符曾达到2000个，而300—400年后，字
符减少到800个，再经过300—400年，大约在公元前2900年时，字符只剩
下600个左右、谐音文字还可以表达图形符号无法表达的介词、副词、小品
词及词格、词首、词尾等语法结构，这样可更确切地表达语句，由于一个字
符包含了多种意义，为了避免字符意义的混淆，在确定某一字符在句子中的
意义时，他们采用了两种办法：一是使用指意符号，如犁的符号意义很多，
如果用来指犁的本义，则需在这个符号上加“木”为词首，如果用来指耕者，
则需加上指意符号人为词音。有些类似我国汉字中，从水，从人等偏旁。另
① 参见涂厚善《古代两河流域的文化》，商务印书馆1964 年版。
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一种方法是使用音节符号作词尾补音，如足的字符分别附以“—WA”或—BA，
它们就分别代表了“去”或“立”的意思。标音符号的运用，使书写文字比
以前更加灵活，后来古巴比伦、亚述人都采用这种楔形文字，并稍加调整，
①
把他们自己那些互不相同的语言，全部用文字表达出来 。
随着楔形文的发展，它不再只是作为记录具体事物的工具，还发展为可
供宗教、技术、历史文件之用的完整文体，这些文件先后被制成数百万件牌
版，其中包含了农产帐、天文表、法典、文学、文典或编年史等多方面的内
容，它们无疑地成为研究古代西亚史的重要历史资料。除此之外文字还被披
上了一层神秘的色彩，并具有礼仪性的意义，如在建筑神庙或宫殿时，人们
通常在屋基之中放块牌版，向神祈祷，人们喜欢佩带刻字的护身符，以辟除
②
妖魔 。巴比伦人和亚述人对于文字极为敬畏，认为他们的命运是受文字的约
束，他们甚至认为当一个具有宗教职位的书记，把一个人的姓名刻在一本神
秘的生死簿时，此人的死亡之日就即将来到。当时掌握文字的人是少数奴隶
主贵族和一些神职人员。
到公元前1500年左右，楔形文字已成为当时国际外交上的通用文体，后
来叙