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①。
有一次，李善兰与学友们同游东山。有人问他东山有多高？他立即从地① 《海宁州志稿》、《清史稿》、《畴人传》及其后诸书均误作“李善兰，字壬叔，号秋纫”，今据原始资料《苞溪李氏家乘》（祠堂藏版，1890）卷六改。
① 《硖川诗续钞》卷五。
上拾起一根草芥，平伸手臂，眯着眼睛，沿着草芥顶端对准东山一瞄，随即脱口而出：“二十六丈！”同行者无不惊讶。原来他是用相似勾股形对应边成比例的原理目测心算算出了东山的高度。
李善兰结婚那天的晚上，要拜堂了，却不见了新郎，大家都很着急。他的二弟心梅和小弟心葵却心中有数，他们跑上二楼的阁楼上一看，大哥正猫着身子，探头于窗外，聚精会神地看着天上的星星呢！原来李善兰为了研究数学和天文历法，平时经常独自上东山，观测象纬■次。当晚，他来不及上山去了，只好跑到阁楼的窗台上进行每天例行的天象观测。
第二节朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉1840 年，李善兰29 岁的时候，鸦片战争爆发了。帝国主义侵略者用鸦片和大炮轰开了中国的大门。从此，中国由一个独立的封建帝国，一步一步地沦为半封建半殖民地的国家。
1842 年5 月，英军攻陷江浙海防重镇乍浦。乍浦离李善兰的家乡硖石只有几十里的路程。他耳闻目睹了侵略者烧杀淫掠的血腥罪行，满怀悲愤，奋笔疾书《乍浦行》一诗：“壬寅四月夷船来，海塘不守城门开。官兵畏死作鼠窜，百姓号哭声如雷。夷人好杀攻用火，飞炮轰击千家灰。。。饱惊十日扬帆去，满城尸骨如山堆。朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉？”②鲜明地表达了他对侵略者的刻骨仇恨，对老百姓的深切同情，对清政府临敌不战的强烈谴责，以及他对敌主战的坚决态度。
人民群众不堪忍受侵略者的凌辱。当时有一个名叫刘七姑的女子，在敌人的淫威面前，宁死不屈，投井自尽。李善兰写了一首民歌体裁的《刘烈女》诗①：夷船海上来，将军不敢守。
炮声一震魂魄丧，骑马掩耳出城走。
呜呼！将军性命重如此，烈女乃于井中死。
用通俗明白的语言对比描绘“将军”和“烈女”的形象，褒贬爱憎的感情色彩何其鲜明！李善兰还在《汉奸谣》②一诗中痛斥那些“割民首级争献功”的民族败类，对于“街头义勇捉汉奸”、“为尔良民一雪仇”的举动则表示欢欣鼓舞，拍手称快！
鸦片战争血淋淋的事实，激发了李善兰忧国忧民和科学救国的进步思想。他说：“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也；推原其制器之精，算学明也。”③为了国家的强盛，他希望“异日人人习算，制器日精，以威海外各国”④。从此，他自己便身体力行，在家乡刻苦从事数学研究工作。
② 陈奂：《师友渊源记》。
① 李善兰：《听雪轩诗存》，汲修斋校本，北京图书馆藏。
② 李善兰：《听雪轩诗存》，汲修斋校本，北京图书馆藏。
③ 李善兰：《听雪轩诗存》，汲修斋校本，北京图书馆藏。
④ 李善兰：《重学》序，1866 年。
第三节步算中西独绝伦，小李将军算法奇1845 年前后，李善兰在嘉兴陆费家设馆授徒，得以与江浙一带的学者（主要是数学家）顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813—1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于“尖锥术”的著作《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。
李善兰的尖锥术，可以说是具有中国传统数学特色的解析几何和微积分。由于清政府长期奉行闭关自守政策，包括微积分学在内的西方近代科学一直未能传入中国。当时的中国数学界，除了见到零星几个由传教士带进来的三角函数无穷级数表达式和对数计算方法之外，其余则一概不知。就是这些公式和方法，也只有结论，没有推导的过程和计算的原理。在这种情况下，李善兰异军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，在中国传统数学中垛积术和无穷小极限方法的基础上，发明尖锥术，不仅创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函数、反三角函数和对数函数的幂级数展开式，而且还具备了解析几何思想和一些重要定积分公式的雏型。这是非常了不起的成就。
首先，李善兰所创立的尖锥概念，是一种处理代数问题的几何模型。它由互相垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线所组成，并且在考虑尖锥合积的问题时，也是使诸尖锥有共同方向上的底和高，这样的底和高具有平面直角坐标系中纵、横两个坐标的作用。
其次，这种尖锥是由乘方数渐增渐迭而得，尖锥曲线是由随同乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。由于李善兰把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，实际上他给出了直线（长方、平尖锥）、抛物线（立尖锥）、立方抛物线（二乘尖锥）。。的方程。他的对数合尖锥还相当于给出了等轴双曲线的方程。
再次，李善兰的尖锥求积术，实质上就是幂函数的定积分公式和逐项积分的运算法则。同时，李善兰用这种积分的方法，配合还原（级数回求）、商除等代数运算方法，卓有成效地展开了许多超越函数的研究，这也是属于微积分学早期阶段的工作。
特别值得一提的是李善兰的对数论，它建立在尖锥术的基础上，独具特色，受到了中外学者的一致赞誉。伟烈亚力（A。Wylie，1815—1887）说：“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，达到了如同圣文森特的J。格雷戈里（Gregory，1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。”“倘若李善兰生于J。纳皮尔（Napier，1550—1617）、H。布里格斯（Briggs，1556—1631）之时，则只此一端即可名闻于世。”⑤顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法简捷、高明，认为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰“中土李（善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，大声疾呼“以告中土之受欺而不悟者”①。
在李善兰尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可以生根长叶、开花结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己特殊的方⑤ 李善兰：《重学》序，1866 年。
① A。Wylie，Chinese Researches，Shanghai，1897。
式走上近代数学的道路。只是几年以后，到了1852 年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的近代数学，并参与了把解析几何和微积分介绍进中国的翻译工作。从此，中国传统数学逐渐汇入世界数学的发展洪流之中。
清初有两位天算大师王锡阐（字寅旭，号晓庵，1628—1682）、梅文鼎（字定九，号勿庵，1633—1721），当时号称“二庵”。蒋学坚说：“李先生算学为中外所共仰，国初王晓庵、梅勿庵二先生后，当首屈一指。”②又有诗称李善兰“步算中西独绝伦”、“王梅而后此传人”，“二庵之后更推谁，小李将军算法奇”①。
② 顾观光：《■賸余稿》卷下，《武陵山人遗书》，1883 年。
① 蒋学坚：《李壬叔先生〈则古昔斋遗诗〉跋》，《怀亭文录》。
第四节朝译几何，暮译重学1852 年夏天，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给主持书馆的英国传教士W。H。麦都思（Medhurst，1796—1857）展阅，其时住于墨海书馆的伟烈亚力见之甚悦，出了几道数学难题请教李善兰，李善兰一一作了正确的解答。于是伟烈亚力便请他留在上海合作翻译西方数学书籍。
李善兰和伟烈亚力合作翻译的数学书有《几何原本》后9 卷、《代数学》13 卷和《代微积拾级》18 卷等。
据伟烈亚力说，古希腊欧几里得《几何原本》的英文版本“校勘未精，语讹字误，毫厘千里，所失匪轻”，而“（李善兰）君固精于算学，于几何之术，心领神悟，能言其故。于是相与翻译，余口之，君笔之。删芜正讹，反复详审，使其无有疵病，则李君之力居多。余得以借手告成而已”②。看来，这并非谦虚之词。因为翻译的过程是伟烈亚力口述，李善兰笔录。这种笔录，是对口述的再翻译，整理、加工、乃至创造的比重是很大的。李善兰自己也说：“当笔受时，辄以意匡补”，如此“屡作屡辍，凡四历寒暑，始卒业”，“伟烈亚力君言，异日西士欲求是书善本，当反访诸中国矣”①。该书于1856年译毕，1857 年出版发行。
英国数学家A。棣么甘（De Morgan，1806—1871）的《代数学》（1835）
内容包括代数方程、方程组、指数函数、对数函数及其幂级数展开式等。这是我国第一部符号代数的译本，西方通用的一些代数符号，例如＝，×，÷，拉伯数码字用一、二、三、四。。，26 个英文字母用中国传统的十天干（甲、乙、丙、丁。。）十二地支（子、丑、寅、卯。。）外加四元（天、地、人、物）来表示。
美国E。罗密士（Loomis，1811—1899）的《代微积拾级》（1850）是一部高等数学的教科书，内容包括解析几何和微积分初步，“由易而难若阶级之渐升”。译文用“微”的偏旁“彳”表示微分符号d，用“积”的偏旁“禾”表示积分符号∫，再配合其他相应的表示方法，象这样的积分式dxa xa x c＋= ＋ ＋ ò ln（ ） 便被译为禾甲⊥天彳天甲⊥天对⊥丙= （ ）虽然同当今通用的数学符号和表达方式相比还相差甚远，但这是高等数学第一次被介绍进中国，在中国近现代数学史上具有里程碑的意义。
翻译《几何原本》的同时，李善兰和伟烈亚力还翻译了西方力学著作《重学》