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数学史上具有里程碑的意义。
翻译《几何原本》的同时，李善兰和伟烈亚力还翻译了西方力学著作《重学》，真所谓“朝译几何，暮译重学”②，十分紧张和辛苦。《重学》是我国近代科学史上第一部力学译著，也是当时最重要、影响最大的一部物理学著作，“制器考天之理皆寓于其中”①。
② 蒋学坚：《闻李壬叔丈讣音》，1882 年。
① 伟烈亚力：《几何原本》译序，1856 年。
② 李善兰：《几何原本》译序，1856 年。
① 李善兰：《重学》序，1866 年。
从1852 到1859 年，李善兰除了翻译出版上述数学和力学的著作外，还同伟烈亚力合作翻译出版了天文学著作《谈天》（英国赫歇耳的《天文学纲要》）和植物学著作《植物学》（英国林德利的《植物学基础》），这也是西方近代天文学和植物学首次全面系统地传入中国。
特别值得一提的是，在这些翻译过程中，大量的近代科学名词，在汉语中都没有先例供参考。本着对后人负责的精神，李善兰仔细思考，反复斟酌，十分贴切恰当地创译了一大批数学、天文学、物理学和植物学中的科学名词，例如：代数、常数、变数、已知数、未知数、函数、系数、指数、级数、单项式、多项式、轴、切线、法线、渐近线、微分、积分；历元、方位、视差、章动、自行、摄动、光行差、月行差、月角差、二均差、蒙气差、星等、变星、双星、三合星、本轮、均轮；分力、合力、质点、刚体；细胞、植物；等等。100 多年来，这些科学名词不仅在我国流传下来，扎下了根，还飘洋过海，东渡日本等国，沿用至今而勿替。如今，当我们天天和这些熟悉的科学名词打交道时，饮水思源，李善兰的开创之功是应该永志不忘的。
李善兰在十九世纪五十年代的翻译工作，加上七十年代初徐寿（1818—1884）翻译《化学鉴原》，华蘅芳（1833—1902）翻译《地学浅释》等，20年间，西方近代科学中，数、理、化，天、地、生，各大门类的先进知识都介绍进了中国，这为中国的近代科学发展奠定了坚实的理论基础，具有不可磨灭的历史意义。
第五节辅佐洋务新政，实施科学救国从十九世纪六十年代开始，清皇朝中一部分善于通权达变的封建政治家，以总理各国事务衙门的大臣奕䜣、文祥和拥有实权的大官僚曾国藩、左宗棠、李鸿章等人为代表，主张和实施引进西方资本主义国家的先进设备和科学技术，创办了一批近代军事工业和民用工业，建立起新式的海军和陆军。这些活动，史称“洋务运动”。此时，李善兰投身洋务派官僚集团，积极参与洋务新政中的学术活动，试图以此实现他的科学救国的理想。
1861 年秋，曾国藩在安庆筹建一个试用机器生产的兵工厂——安庆军械所，先邀著名化学家徐寿和数学家华蘅芳到内军械分局研制机动船只，后又将李善兰“聘入戎幄，兼主书局”②。李善兰一到安庆，就拿出因战乱初刊版已毁的《几何原本》等数学书籍对曾国藩说：“此算学家不可少之书，失今不刻行复绝矣！”①在曾国藩的支持下，于1865 年在金陵（南京）出版了15卷足本《几何原本》。曾国藩亲自为之作序，推荐此书。这对当时中国的数学界乃至整个学术界都是有很大影响的。
1866 年，曾国藩在上海筹建一个更大规模的兵工厂——江南机器局，他“邮致三百金”①到南京，资助李善兰出版算书，这样就有了1867 年金陵刊本的李善兰数学著作《则古昔斋算学》付梓问世。与此同时，在南京开办金陵机器局的李鸿章也资助李善兰重刻《重学》8 卷附《圆锥曲线说》3 卷。李善兰的《则古昔斋算学》收有他20 多年来的各种数学著作等13 种，除前述关于尖锥术的《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》外，还有关于等差级数求和问题的《垛积比类》②，关于行星运动轨道研究方面的《椭圆正术解》、《椭圆新术》和《椭圆拾遗》，提出别具一格的图解法、堪称我国第一部精密科学意义上的弹道学著作《火器真诀》，在我国级数研究史上带有开创性的《级数回求》，解决了若干有关中国古代数理天文学问题的《天算或问》，诠释和发扬中国传统数学和历法的《四元解》、《麟德术解》，以及融会中西数学方法的《对数尖锥变法释》。
张之洞也很钦佩李善兰的学识。他在1875 年编写《书目答问》，卷后附有“清朝著述诸家姓名略”，注称：“此编生存人不录。”但却破例在“算学家”条下列了李善兰，并特别加注说明：“李善兰乃生存者，以天算为绝学，故录一人。”③② 李善兰：《重学》序，1866 年。
① 崔敬昌：《李壬叔征君传》。
① 曾国藩：《几何原本》中译本序，1865 年。
② 李善兰：《则古昔斋算学》序，1867 年。
③ 其中，现被普遍誉称为“李善兰恒等式”的一个组合公式驰名中外，自本世纪三十年代以来不断引起数学界的广泛兴趣，我国数学家章用、华罗庚和匈牙利数学家图兰·帕尔（Turan Bel）等人都研究和证明过它。
第六节合中西之各术，绍古圣之心传1861 年，洋务派奕䜣等奏请开办京师同文馆，1862 年成立，直属总理各国事务衙门。开始只设有外语课程，培养办理洋务所需的翻译人才。1866 年又因制造机器必须讲求天文算学，议于同文馆内添设一馆，即天文算学馆。1867 年起招收30 岁以下的秀才、举人、进士、翰林，以及科举出身的五品以下官吏入学，厚给薪水，住馆学习数学，学制7 年。起初，在物色主持者的人选时，广东巡抚郭嵩焘就上疏举荐了李善兰。但李善兰忙于在南京出书，翌年才得以北上，就任同文馆天文算学总教习，直至1882 年去世。其间所教授的学生“先后约百余人。口讲指画，十余年如一日。诸生以学有成效，或官外省，或使重洋”①，知名者有席淦、贵荣、熊方柏、陈寿田、胡玉麟、李逢春等。晚年，获得意门生江槐庭、蔡锡勇二人，即函致华蘅芳，称“近日之事可喜者，无过于此，急欲告之阁下也”②。这些人在传播近代科学特别是近代数学方面都起过重要作用。1880 年，同文馆总教习、美国人丁韪良（W。A。P。Martim，1827—1916）因此说：“是皆李壬叔先生教授之力也。呜呼！合中西之各术，绍古圣之心传，非壬叔吾谁与归？”③所谓“合中西之各术，绍古圣之心传”，实际上是发扬中国古代数学的优良传统，并将之纳入当时世界通行的近代数学体系之中。李善兰身处新旧交替、中西融合的历史时期，眼光敏锐，思想活跃，既不盲从，又不保守，是很有胆略、很有气量的。在中国古代数学名著中，他选定了金元时期李冶的《测圆海镜》为同文馆的数学教材，这是因为李冶的“天元术”就是西方的代数学，“立天元一”即“设未知数x”，而且《测圆海镜》中由170 个勾股容圆问题归纳出来的“九容公式”，也是与几何图形有关的代数运算的基本技能和技巧训练。李善兰高度评价《测圆海镜》这部书，说他自己“译西士代数、微分、积分诸书，信笔直书，了无疑义者，此书之力焉”。他撰《测圆海镜解》，取《测圆海镜》中的原题，“今以代数演之，则合中西为一法矣”①。数学是没有国界的。当时从西方传到中国来的近代数学，本身就是吸取了大量包括中国在内的东、西方各民族的数学成果的产物。尽管自代数学和微积分传入以后，中国古代的天元术和传统的幂级数研究难以再有进一步发展的余地，但中国古代传统数学汇入世界近代数学洪流之中，这是中国数学发展的必然趋势。李善兰是顺应这种历史潮流，起着推波助澜作用的。① 张之洞：《书目答问》，1875 年。
② 崔敬昌：《李壬叔征君传》。
③ 李善兰：《致华蘅芳函》（严敦杰收藏）。
① 丁韪良：《同文馆算学课艺》序，1880 年。
第七节学问量天测地赅，诗文余事亦恢恢李善兰的科学著译，特别是他的数学著作，“仰承汉唐，荟萃中外，取精用宏，兼综条贯”，“业畴人者，莫不家庋一编，奉为圭臬”②。而他业余从事的诗、文创作，也是内容丰富、洋洋大观。蒋学坚写诗赞他“学问量天测地赅，诗文余事亦恢恢”①。
李善兰自谓“十三学吟诗”②，虚岁15 时便有“膝下依依十五秋，光阴瞬息去难留。嗟余马齿徒加长，爆竹惊心岁已周”和“数声爆竹岁朝天，惭愧平舆会讲年。一岁功程今日始，急须早著祖生鞭”的佳作。他年轻时写的《夏日田园杂兴》、《田家》等诗，如“提筐去采陌头桑，闭户看蚕日夜忙。得到丝成空费力，一身仍是布衣裳”③，颇为体贴劳动人民的辛苦。此外，他还写了大量咏史咏物咏景的抒怀之作，文字清新，思想深邃，颇具哲理。李善兰的杂文思想性、艺术性兼备。例如，他年逾花甲后写了一篇《星命论》④，用确凿有力的证据，通俗生动的比喻，淋漓尽致地揭露了利用星象搞封建迷信活动的荒诞无稽。文中有这样一段：大挠造甲子不过记日而已，并不记年月与时也。亦无所谓五行生克也。
其并记年月与时且以五行配之，皆起于后代，古人并无此意也。而术士专以五行之生克判人一生之休咎，果可信乎？且五行见于洪范，不过言其功用而已，言其性味而已，初不言其生克也。是干支之配五行，本非古人之意矣，而谓人之一生可据此而定，是何言欤？至五星偕地球同绕日而各不相关。夫五星与地球且不相关，况地球之上一人而谓某星至某官主吉，某星至某官主凶，此何异浙江之人在浙江巡抚治下，他省之巡抚于浙江无涉也，今试谓之曰某巡抚移节某省，于尔大�