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我已经说明，具有低维的理论比高维理论更易于证伪。例如，具有一次函数形式的定律比用二次函数表示的定律更易于证伪。但是后者在具有代数函数的数学形式定律中间，仍然属于最可证伪的定律之列的。这一点和Schlick对简单性的评论完全一致：“我们当然应该倾向于认为一次函数比二次函数简单，虽然后者无疑地也描述一条很好的定律……”。
我们已经看到，理论的普遍度和精确度和它的可证伪度一起增加。因此我们也许可以把理论的严格度——可以说理论把定律的严格性加于自然的程度——等同于它的可证伪度；这一点表明，可证伪度正是做的Schlick和Feigl期望简单性概念做的事情。我还可以说，Schlick希望在定律和机遇之间作出的区别，也能借可证伪度概念之助弄清楚。关于具有似机遇特征的序列的概率陈述，证明具有无限的维（参看第65节）；不是简单的而是复杂的（参看第58节和第59节的后半部分）；而且只是在特殊的保证条件下才是可证伪的（第68节）。
可检验度的比较已经在第31到40节里详细地讨论过。那里提供的某些例子和其他细节可以容易地转用到简单性问题上来。这一点特别适用于理论的普遍度，一个比较普遍的陈述能代替许多较不普遍的陈述，并由于这个理由时常被称作为“比较简单”。理论的维的概念可以说是使得Weyl的用参量的数目来确定简单性概念的思想精确化了。通过我们在理论的维的形式的减少和内容的减少之间所作出的区别（参看第40节），可以对付对Weyl理论的某些可能的反对意见。这些反对意见之一是，轴比和偏心率数值给定的椭圆集虽然它显然不是那么“简单的”，具有和圆集正好一样多的参数。
最重要的是，我们的理论解释了为什么简单性是如此高度的合乎需要。为了理解这一点，我们不需要假定“思维经济原理”或者任何这类原理。假如知识是我们的目的，简单的陈述就比不那么简单的陈述得到更高的评价，因为它们告诉我们更多东西；因为它们的经验内容更多，因为它们更可检验。
44．几何形状和函数形式
我们关于简单性概念的观点使我们能够解决了一些矛盾，直到现在这些矛盾曾使得这个概念是否有任何用处成为疑问。
很少人会认为，比方说对数曲线的几何形状是特别简单的；但是一个由对数函数表示的定律常常被认为是简单的定律。同样地，一个正弦函数通常被说成是简单的，纵然正弦曲线的几何形状也许不是很简单的。
假如我们记住在参数数目和可证伪度之间的联系。假如我们又在维的形式减少和内容减少之间加以区别，像这样的困难可以得到解决。（找们也必须记住对于坐标系统的变换的不变性的作用。）如果我们说到一条曲线的几何形式或形状，那么我们所要求的是，对于所有归属位移群的变换的不变性，我们还可以要求对相似变换的不变性；因为我们并没有想把几何图形或形状和一定的位置联结起来。因此，如果我们把一条单参数对数曲线（y＝logax）的形状看作置于一个平面的任何地方，那么它就有五个参数（假如我们允许相似变换）。因此它就完全不是一个特别简单的曲线。另一方面，如果用一条对数曲线来表示一个理论或定律。那么描述过的那种坐标变换是无关的。在这种情况下，进行旋转、平移或相似变换，都是没有意义的。因为一条对数曲线通常是一种坐标不能互变的图形表示（例如，x轴可以表示大气压力，y轴表示海拔高度）。由于这个理由，相似变换在这里同样没有任何意义。类似的考虑适用于沿着一根特殊的轴，例如时间轴的正弦振荡；还有许多其他情况都是如此。
45．Euclid几何学的简单性
在相对论的大部分讨论中起着主要作用的问题之一是，Euclid几何学的简单性。从未有人怀疑过，Euclid几何学本身是比任何有一定曲率的非Euclid几何学更简单些——更不要说具有随地方而变化的曲率的非Euclid几何学了。
乍一看来，这里涉及的这种简单性似乎和可证伪性很少关系。但是，如果讨论中的陈述被表述为经验的假说，那么我们发现，在这种情况下这两个概念，简单性和可证伪性，也是重合的。
让我们考虑什么实验可以帮助我们检验这样的假说：“在我们的世界里，我们必须运用具有某一曲率半径的一种度量几何学”。仅当我们把一定的几何学实体和一定的物理客体——例如直线和光线、点和几根线的交点——等同起来时，检验才是可能的。如果采取了这样的等同（一个相关定义，或者也许是一个直指定义；参看第17节），那么可以看出，Euclid光线几何学的正确性假说的可证伪度，比任何断言某种非Euclid几何学的正确性的与前者相匹敌的假说的可证伪度高。因为如果我们测量一个光线三角形的角度之和，那么对180度任何显著偏离都将证伪Euclid假说。另一方面，具有给定曲率的Bolyai－Lobatschewski几何学的假说是和任何不超过180度的特定测量相容的。而且，为了伪证这个假说，必须不仅测量角度之和，而且还要测量三角形的（绝对）大小；这意味着，在角度之外，必须再定义一个测量单位，例如面积单位。因此我们看到，证伪需要更多的测量；假说和测量结果的更大的变化相容；因此更难于证伪：它的可证伪度较小。换句话说，Eu－clid几何是惟一的具有确定曲率的，在其中可能进行相似变换的度量几何学。因此，Euclid几何图形能对比较多的变换保持不变；即它们可能是维数较少的：它们可能是较简单的。
46．约定主义和简单性概念
约定主义者所说的“简单性”并不对应于我所说的“简单性”。任何理论都不是为经验所毫不含糊地决定的，这是约定主义者的中心思想，也是他们的出发点；这一点我同意。他们相信，他们因此必须选择“最简单的”理论。但是，由于约定主义者并不把他们的理论当作可证伪的系统，而是当作约定的规定，显然他们认为“简单性”的意义是和可证伪度不同的。
约定主义者的简单性概念证明确实是部分地美学的和部分地实用的。因此，下列Schlick的评论（参看第42节）适用于约定主义者的简单性概念，而不适用于我的：“人们只能用约定来定义简单性概念，这约定必定总是任意的，这一点是确定无疑的”，奇怪的是，约定主义者自己没有看到他们自己的基本概念——简单性概念的约定性质。他们必须是忽略了这一点，这是明显的，因为否则他们本来会注意到，一旦他们已选择了任意约定的方法，他们求助于简单性决不可能使他们避免任意性。
从我的观点看来，假如有人按照约定主义者的实践，坚持某一系统是一个永远确立了的系统，每当它处于危险中时，他就决意引进辅助假说去挽救它，那么必须说这个系统是最高度复杂的。因为，这样保护起来的系统的可证伪度等于零。这样我们就被我们的简单性概念引回到第20节的方法论规则；特别是也引回到限制我们过度使用特设性假说和辅助假说的规则或原理：使用假说的节约原理。
追记（1972）
在这一章里，我试图表明简单度能够和可检验度等同到什么程度。没有什么东西依赖于“简单性”这个词：我从不就词进行争论，我也不设法揭示简单性的本质。我所试图说明的只是这样：
有些大科学家和大哲学家已经论述了简单性和它对科学的价值。我认为，假如我们假定，当说到简单性时，他们有时在心里想的是可检验性，就能够更好地理解其中一些论述。这一点甚至说明了Poincare的某些例子，虽然这些例子和他的观点是冲突的。
现在我应该进一步强调两点：（1）我们能在可检验性方面比较理论，仅当在这些理论应该解决的问题中，至少有一些是重合的。（2）不能用这种方法比较特设性假说。
科学发现的逻辑第八章 概率
第八章 概率
在这一章，我将只讨论事件的概率以及它引起的问题。这些问题的产生同博奕论和物理学的概率定律有关。我将什么可称之为假说的概率问题——例如一个经常受到检验的假说是否比一个很少受到检验的假说更可几等问题——留到第79至85节在“验证”题目下进行讨论。
与概率论有关的观念在现代物理学中起着决定性的作用。然而我们仍然缺乏一个满意的、前后一致的概率定义；也就是说，我们仍然缺乏一个满意的概率计算的公理系统。概率和经验之间的关系也仍然需要澄清。在研究这个问题时，我们将发现对我的方法论观点几乎不能克服的反对意见最初是什么。因为虽然概率陈述在经验科学中起着如此重要的作用，可是结果它们却在原则上不受严格证伪的影响。然而，这块绊脚石将成为检验我的理论，以便查明它有什么价值的试金石。
因此我们面临两项任务。第一项任务是为概率计算提供新的基础。我将试图通过把概率论发展为频率理论做到这一点，沿着Richard von Mises所遵循的路线，但不用他称之为的“收敛公理”（或“极限公理”），而使用有点削弱了的“随机公理”。第二项任务是阐明概率和经验之间的关系。这是指解决我所说的概率陈述的可判定性问题。
我希望这些研究将有助于减轻目前的不满意的情况，物理学家在这种情况下大量使用概率，而未能前后一致地说明他们所说的“概率”是什么。
47．概率陈述的解释问题
我将从区别两类概率陈述开始：相数字表示某一概率的陈述——我称之为数值概率陈述——以及�