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统计学估计或频率陈述决不能从“决定论”性质的定律中推导出来，理由是为了从这些定律中演绎出任何预见，需要初始条件。在初始条件那里，关于初始条件统计学分布的假定——也就是说特定的统计学假定——进入了演绎过程，统计学定律就是通过演绎从决定论性质或“精确”性质的微观假定中获得的。
理论物理学的频率假定在一定程度上是等机遇假说，这是一个令人惊异的事实，但这无论如何并不是意味着它们是“自明的”，或先验地正确的。它们远非如此，这一点从经典统计学、Bose－Einstein统计学和Fermi－Dirac统计学之间的广泛差异中就可看到。这些表明特定的假定如何可与一个等机遇的假说结合起来，在每一种情况下都导致参考序列的主要性质（假定其分布是均等的）的不同定义。
下面的例子也许可证明这个事实：甚至当我们想摆脱频率假定时，它们也是必不可少的。
想象一个瀑布。我们可辨认某种奇特的规律性：组成瀑布的水流的大小是变化的；不时地飞溅从主流中甩出来；然而在贯穿所有这些变化中，某种规律性明显可见，它强烈提示有一种统计学效应。尽管有一些尚未解诀的液体动力学问题（与涡流的形成有关等等），我们在原则上能够以任何所需程度的精确性，预测任何量水——比方说一组分子——的路线，如果给定足够精确的初始条件的话。因此我们可以假定，有可能预言远在瀑布之上的任何分子，在哪一点上它将越过边缘，到达底部等等。这样原则上可计算出任何数量分子的路线；并且给定充分的初始条件，我们就能在原则上演绎出瀑布的任何一种个别的统计学涨落。但是只能是这种或那种个别的涨落的，而不是我们已描述过的反复发生的统计学规律性，一般统计学分布就更不行了。为了说明这些，我们需要统计学估计——至少假定某些初始条件对于许多不同组的粒子（等于一个全称陈述）将一次又一次地反复出现。我们获得一个统计结果，当且仅当我们作出这些特定的统计学假定——例如关于反复出现的初始条件频率分布的假定——时。
71．形式上单称的概率陈述
我称一个概率陈述为“形式上单称的”，当它把某一概率赋予某个单一偶发事件或某类偶发事件的单个元素时；例如，“用这个骰子掷下一次得5的概率是1／6”或“（用这个骰子）掷任何一次得5的概率是1／6”。从频率理论观点看，一般认为这些陈述是不十分正确的表述，因为不能把概率归之于单个偶发事件，而只能归之于偶发事件或事件有限序列。然而借助客观概率或相对频率概念用适当定义的形式上单称的概率把这些陈述解释为正确的陈述是容易的。我用“Pαk（β）”表示这形式上单称的概率：作为序列α的一个元素，某一偶发事件k有性质β——符号为kεα——于是我定义形式上单称的概率如下；
Pαk（β）＝αF（β）（kεα）（定义）这可用文字表达如下：事件k具有性质β——设k为序列α的一个元素——的形式上单称的概率，根据定义等于性质β在参考序列α内的概率。
这个简单的几乎一目了然的定义证明令人惊异地有用。它甚至可帮助我们澄清现代量予理论的某些复杂问题（参阅第75－76节）。
正如定义所表明的，如果一个形式上单称的概率陈述没有明确说出一个参考类，它就是不完全的。但是虽然α常常没有明确提及，在这些情况下我们往往知道α是什么意思，因此上述第一个例子没有具体规定任何参考序列α，但是十分清楚它与掷真的骰子的所有序列有关。
在许多情况下，对一个事件K可以有若干不同的参考序列。在这些情况下非常明显，对同一事件可以作出不同的形式上单称的概率陈述。因此一个个别的人K将在一定时期内死亡这种概率可根据我们认为他是他的年龄组的一员，还是他的职业组的一员等等来假定十分不同的值。对于应该从若干可能的参考类中选定哪一个，不可能制定一个一般规则。（最窄的参考类往往最合适，假如它多到足以使概率陈述立足于合理的统计外推，并且得到足够量验证证据的支持的话。）
一旦我们认识到同一偶发事件或事件可以有不同的概率，作为不同参考类的一个元素，不少所谓概率悖论就消失了。例如，有时有人说，一个事件的概率αPk（β）在它出现以前不同于同一事件在它出现以后的概率：在以前它等于1／6，而在以后可能只等于1或0。当然这个观点是完全错误的。αPk（β）在出现以前和以后总是相同的。除了根据信息kεβ（或kε）——根据时偶发事件的观察提供给我们的信息——我们可选取一个新的参考类，即β（或），然后向βPk（β）值是什么以外，什么也没有变化。这个概率值当然是1；而Pk（β）＝0。告诉给我们关于单个偶发事件实际结局的陈述——不是关于某个频率，而是关于“kεφ”形式的陈述——不能改变这些偶发事件的概率；然而，它们可提示我们选取另一个参考类。
形式上单称的概率陈述概念提供了一种通向主观理论，从而也就通向域（range）理论的桥梁，正如下节将表明的那样。因为我们会同意把形式上全称的概率解释为“理性信仰程度”（依照Keynes）——假如我们允许我们的“理性信仰”受某一客观的频率陈述指导的话。因此这种陈述还是我们的信仰所依靠的信息。换言之，也可能有这样的事：我们除了知道某个事件属于某一参考类，某个概率估计在其中受到了成功的检验外，对它一无所知。这个信息并不能使我们预见这个事件的性质将是什么；但是它能使我们表达借助某种形式上单称的概率陈述知道它的一切，这种陈述看起来像关于所谈论的特定事件的不确定预见。
因此，我不反对关于单个事件概率陈述的主观解释，即解释为不确定的预见——可以说，承认我们对所谈论的特定事件缺乏知识（的确，关于这个事件什么结论也不能从某个频率陈述中得出）。那就是说，我不反对概率陈述的主观解释，只要我们明确承认客观频率陈述是基本的，因为只有它们是可用经验检验的。然而，我反对把这些形式上单称的概率陈述——这些不确定预见——解释为关于客观事态的陈述，但不反对解释为客观统计事态的陈述。我脑子里有这样一种观点：关于掷骰子概率为1／6的一个陈述不仅是承认我们不知道任何确定的事情（主观理论），而且是关于掷下一次的断言——断言它的结果客观上既是不确定的又是非决定的——是关于某种仍悬而未决的事情的断言。我认为所有作出这种客观解释（除了别人外，Jeans作过充分的讨论）的尝试都是错误的。不管这些解释可能造成一些什么样的非决定论气氛，它们全都包含这样的形而上学思想：不仅我们能演绎出和检验预见，并且除此之外自然界或多或少是“决定的”（或“非决定的”）；因此预见的成败不应用它们由之演绎出来的定律来解释，而是首先由这样一个事实来解释：自然界实际上是（或不是）根据这些定律组成的。
72．域理论
我在第34节中说，一个可证伪程度比另一陈述更高的陈述可被描述为逻辑上更不可几的陈述；而不那么可证协的陈述则是逻辑上更可几的陈述。逻辑上不那么可几的陈述衍推出逻辑上更可几的陈述。在逻辑概率概念和客观的或形式上单称的数值概率概念之间有密切关系。某些概率哲学家（Bolzano，von Kries，Waismann）曾试图把概率计算立足于逻辑域，因此立足于一个与逻辑概率一致的概念（参阅第37节）；并且他们在这样做时，也试图弄清逻辑概率与数值概率之间的密切关系。
Waismann曾建议用与不同陈述相应的相对频率测定它们逻辑域之间的相互关系程度（可以说它们的比值），从而把频率看作为决定一个测定域的系统的东西。我认为在此基础上建立概率论是可行的。的确我们可以说，这个计划就是使相对频率同某些“不确定的预见”相关起来——正如当我们定义形式上的单称概率陈述时在前一节已经做的一样。
然而必须说，仅当一个频率理论已经建构时，这种定义概率的方法才是可行的。否则人们就得问在定义测定系统时使用的频率本身又是如何定义的。然而，如果我们手中已经有某个频率理论，那么引入域理论实际上就成为多余的。但是尽管有这种异议，我认为Waismann建议的可行性是重要的。发现一个更全面的理论能够填补解决这个问题的各种尝试之间，尤其是在主观和客观解释之间的鸿沟——起初似乎是不可填补的。然而Waismann的建议要求作一点修改。他的域比值概念（参阅第48节注）不仅要求域能借助它们的子类关系（或它�