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念的引进便是为了识别各种集合。
对客观世界中具体的和抽象的对称性的研究产生了群的概念。最早出现
的群是变换群，即指一些变换的集合。19世纪人们研究方程根的置换群、函
数的变换群等，它们的元素都是具体变换。后来，它们的共同特征被抽象出
来，又用符号代替具体变换，便逐渐形成了抽象群论的研究。 20世纪初，
群的抽象公理系统就已给出。之后，群论的研究沿着各个不同的方向展开，
例如，群分解为单群、可解群的问题；找出给定阶的有限群的全体等。
域论的创始人是伽罗华 （1811—1832）。他的域是一种数的集合，如有
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理数域、实数域、复数域等。后来，在代数数域和代数函数域深入研究的基
础上形成了代数数论和代数函数论。 1910年，德国数学家施泰尼茨（1871
—1928）发表的《域的代数理论》，奠定了域论的基础，成为抽象代数的一
个重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明每个域可
由其素域经添加而得。著名数学家希尔伯特曾对代数数域理论作过重要总
结，并提出一些猜想。这些猜想后来陆续由创立类域论的日本数学家高木贞
治 （1875—1960）和奥地利数学家阿廷（1898—1962）所解决。
环论是抽象代数中最深刻的一个部分。而最显著地改变代数学面貌的分
支则是交换环论中的理想论。
环和理想的抽象理论是20世纪才出现的。韦德伯恩（1882—1948）在
《论超负数》一文中，研究了线性结合代数，这种代数实际上是环。
环和理想的系统理论是由女数学家爱米·诺特（1882—1935）给出的。
这位伟大的女数学家，是抽象代数的奠基人，一般理想论的创立者。
诺特出生于德国埃尔兰根的一个犹太人家庭，父亲马克思·诺特也是著
名的数学家。 1900年，诺特进入仅有2名女生的埃尔兰根大学。 1907年，
获博士学位，论文题目是《三元双二次型不变量的完全系》。期间，她还到
哥廷根大学听课，得到希尔伯特、闵科夫斯基（1864—1909）、克莱因（1845
—1918）等数学大师的教导。
1916年，受希尔伯特和克莱因的邀请，诺特到哥廷根工作，帮助他们进
行与广义相对论有关的研究。因为她通晓微分不变量理论，因此作了许多出
色的工作。但是诺特一直没有在哥廷根大学获得应有的职位，只能在以希尔
伯特名义开设的讲座中讲课，希尔伯特几次为她争取讲师的职位，但是，当
时大学评议会里对妇女持歧视观点的人们却极力反对。直到第一次世界大战
结束，德国成为共和国，诺特才当上讲师。
1919年至1922年，诺特潜心研究环中的理想论。当她开始工作时，环
和理想的许多结果已经给出，但是，正是她赋予这些结果以适当的确切的表
述，得到环和理想的抽象、系统的理论。诺特把多项式的理想论包括在一般
理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基
础。 1926年，她在环和理想方面深入的总结性的工作，基本完成。因此，
一般将抽象代数的形成时间定为1926年。
荷兰数学家范德瓦尔登（1905—）于1924年至1925年师从爱米·诺特。
1927年，他极其成功地阐述了诺特的理论，对诺特的思想进行了透彻的解
释，后来写成《近世代数学》一书，总结了以诺特为代表的哥廷根代数学派
以及其他代数学家的成果。此书当时即风靡世界，至今仍被视为是抽象代数
最好的入门书之一。
诺特以她在代数和数论方面的卓越成就，在数学界赢得很高的声誉。
1933年，作为犹太人的诺特和其他五位教授一起被纳粹当局点名离开哥廷
根。她后来不得已而远渡重洋，去了美国，1935年因病逝世。爱因斯坦赞扬
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诺特说：“诺特女士是自妇女受到高等教育以来，最重要的，最富于创造性
的天才”。
（3）拓扑学的发展
拓扑也是19世纪数学的发展结晶出的一个新的数学分支。拓扑的前称
是位置分析，是研究几何图形在被弯曲、拉大、缩小或任意形变下仍然保留
的那样一些性质（这种性质也称拓扑性质）。而对“任意形变”应加的限制
是，在图形变换过程中，原来不在一起的点不能粘在一起，原来在一起的点
也不能分开，每点附近的点经变换后仍在该点附近。这种变换和它的逆变换
都是连续的一一对应，就称为“同胚”。在拓扑学中，一个图形与稳定同胚
的图形成为拓扑等价。拓扑学就是研究不同图形的拓扑性质以及拓扑分类等
问题。
照20世纪的理解，拓扑分成两个有些分立的部分，即点集拓扑和组合
拓扑 （或代数拓扑）。前者把几何图形看作点的集合，又把整个集合看作是
一个空间；后者把几何图形看作是由较小的构件组成的。在研究那些极广泛
的几何结构时，组合拓扑也要用点集拓扑的概念。
法国数学家弗雷歇在1906年发表的博士论文中，把函数作为一个“点”
来看，并把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托尔 （1845—1918）的点集
论和分析学的抽象化联系了起来。弗雷歇在函数所构成的集合中引入距离的
概念，构成距离空间，展开了纷性距离空间的理论。点集拓扑学是在弗雷歇
工作的基础上产生的。希尔伯特空间、巴拿赫空间的引入以及泛函分析的兴
起，进一步推动了点集拓扑的形成和发展。
19世纪末，组合拓扑中发展得较为完善的唯一区域是闭曲面理论。最先
系统地一般地探讨几何图形组合理论的是彭加勒（1854—1912），他被公认
为是组合拓扑学的奠基人。 1895年至1904年间，他发表了一系列有关的
论文。彭加勒把点、线段、面等推广为标准构件——单形，把所有图形都分
解为单形的组合——复形，并引进了流形、边缘、链、贝蒂数、挠系数、示
性数等概念，另在区别复形时，引进了复形的基本群（也称为彭加勒群或第
一同伦群）。他的工作对拓扑学的形成和发展起了相当重要的作用。
这位杰出的数学家同时还是一位杰出的物理学家，他数学方面的著作涉
及几乎所有的基本领域，物理学方面的工作也涉及到动力学、流体力学、电
磁理论、理论物理以及天文学等诸方面。
通过研究函数论问题对拓扑产生兴趣的布鲁温和美国数学家亚历山大
（1888—1971）等在拓扑的这一段发展中都作了许多重要工作。20世纪20
年代末，人们把群和环等抽象代数结构作为拓扑不变量引入，并引进了同调
群、同伦群概念。同调、同伦概念的引进，使拓扑学的内容更加深化。 1939
年到达美国的波兰数学家爱伦堡（1915—）与斯廷罗德（1910—1971）合作，
于1944年将同调论公理化，结束了同调论发展中的混乱局面，推动了拓扑
学的进展。
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这期间，还严格定义了微分流形的概念，并证明了微分流形的一些有关
定理。微分流形是曲线、曲面概念的推广，它们的局部都可以看成是欧几里
得空间，通过不同的方式连接起来就可以连成不同的流形。从局部看，它们
没有什么不同，但这些元件连接方式的不同，在整体上将差别很大。微分拓
扑学就是研究微分流形的拓扑学。40年代后，拓扑学渗透到所有数学领域
中，并影响到物理学、化学和生物学。
历史上的“四色问题”，后来才发现它是一个拓扑问题。所谓四色问题
可以表述为：给平面或球面上的地图着色，只要四种颜色便足够了，就能使
任何两个具有至少一条曲线公共边界的国家都被涂上了不同的颜色。四色问
题也称作“地图问题”，是1852年时，伦敦大学的研究生古斯里 （1831—
1899）提出的。经验使人们觉得这个猜测很有道理，因为还没有一种地图需
要四种以上颜色来着色的，但若少于四种颜色，就肯定不够了。但这个貌似
平常的常识性问题，在暗示这样一个数学定理：将平面任意地细分为不相重
叠的区域，每一个区域，总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而
不会使相邻的两个区域得到相同的数字。所谓“相邻”区域是指有一整段边
界是公共的，两个区域只相遇于一点或有限多个点就不能称其为“相邻”。
古斯里的弟弟将这个猜测告诉了他的老师，当时伦敦大学的教授德·摩
尔根（1806—1871），摩尔根未能提出证明。 1879年，肯普在《美国数学
杂志》上发表了对四色问题的一个“证明”。然而，约十年后，希伍德在伦
敦《数学季刊》上指出了肯普推证中的错误，并给出了他的一个证明。但希
伍德只能证明：用五种颜色给平面或球面上的地图着色是足够的。许多数学
家后来在四色问题上作了工作，虽有一定进展，但均未彻底解决。
直到电子计算机发明之后的1976年，美国伊利诺斯大学的阿佩尔、哈
肯等人，在前人工作的基础上，将问题化为1500个构形，然后逐一证明这
些构形的可约性。他们借助计算机，分析计算了一千多个小时，才证明了这
个世界难题。
1943年至1945年，美籍中国数学家陈省身完成了两项划时代的�