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义》等著作。雅克也几乎走到了独立地发明微积分的边缘。正在这时，莱布
尼茨的微积分成果相继发表，雅克对莱克尼茨极为敬佩，他前往德国，与莱
布尼茨进行短期合作。1686年返回巴塞尔当上了巴塞尔大学的数学教授。
雅克的弟弟约翰，他的父亲最初曾想让他去经商，而他本人却想去学医。
但此后不久，在哥哥的影响下，他也开始自学数学。从1695年起，约翰因其
在数学上初露才华，被聘为荷兰格罗宁根大学的数学教授。1705年，其兄不
幸去世，约翰应聘返回瑞士，接替了他哥哥在巴塞尔大学的数学教授职位。
（2）变分法与概率论基础的奠定
雅克·贝努利对于当时数学的贡献，主要在于奠定了变分法与概率论的
基础。
变分法所涉及的一些基本数学问题，即求极值的问题，可以追溯到古希
腊数学发展时期。那时，阿基米德就曾证明，在给定的周长之间，所围成的
各种几何图形的面积，以圆形的面积为最大。在古代，极值问题不仅为一些
著名数学家所关注，而且流行在一些民间的传说中。在迦太基传说中，就有
一则求极值的数学故事：有人给戴多皇后一张牛皮，要她用这张牛皮围出尽
①
可能大的面积。戴多皇后把牛皮割成长条，然后用长条围出一个半圆 。这说
明，求极值问题远在古代已经引起了人们的关注。
进入17世纪后，由于力学和数学的发展，类似的数学问题又重被人们提
出，在伽利略和莱布尼茨的有关著作中，都曾出现过类似的数学问题。
1696年，约翰向他的哥哥提出了6个数学难题，这些数学难题都不是用
当时的数学方法能一下子解决得了的。其中有一个问题是这样的：在给定的
一根水平轴上画出的所有半椭圆中，怎样才能求一个半椭圆，使物体沿着它
的凹面下滑时，所需要的时间最短。这一问题实际上就是求最速降线问题。
用通常的数学术语来说，也就是求曲线，它能使最初为零的质点在重力作用
下从起点沿曲线降到终点时，所需时间最短。
对于约翰提出的最速降线问题，雅克一时无法作出回答。此后经过三年
多的努力，他终于从微积分中引出一种新方法，即是在求极值方法的基础上，
运用积分方法求出某一积分的极值。1697年12月，约翰在《博物杂志》上
发表了他向雅克提出的数学问题。1700年，作为对约翰提出的问题的解答，
雅克在 《博物者学报》上发表了一篇著名的论文：《等周问题实解》。在文
中，雅克除了讨论最速降线问题之外，还讨论了涉及到求极值的另一个重要
① ＇英＇斯科特：《数学史》，商务印书馆1981年版，第249页。
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问题：等周问题，即在一切具有定长的平面闭曲线中，求出一条围成的面积
最大的曲线。无论是等周问题，还是最速降线问题，都是微积分中求极值方
法的运用和发展。文中还讨论了求极值方法的一般原理与普遍方法。这样，
雅克就以微积分中的求极值方法这一基本数学问题为生长点，在微积分中开
辟了变分法这一新的数学分支。
由于变分法的建立，不但推动了微积分本身的发展，而且初步奠定了力
学和物理学中变分原理的数学基础。这样，雅克就把微积分从纯粹数学与应
用数学两方面向前推进了一步。
雅克除了奠定变分法的基础之外，在微积分的早期发展中，也曾取得一
些类似于莱布尼茨的重要成果。1694年，雅克出版了《微分学方法，论反切
线》这一重要论著。在书中，雅克对微积分的基本原理和方法进行了比较系
统的研究，特别是推进了常微分方程与积分法的研究。这一著作在微积分的
早期发展中产生过重要影响，并被一些数学史家誉为微积分的奠基作之一。
雅克对近代数学发展的另一个重要贡献，是进一步奠定了概率论的基
础。
在雅克之前，概率论已有最初的萌芽。荷兰科学家惠更斯1657年发表的
《论机会游戏的演算》，可以算是近代数学史上最早的概率论著作。
雅克在1685—1690年间对概率论进行了研究。1685年，他在《博物杂
志》上发表的一些论文中，重新提出了惠更斯在《论机会游戏的演算》中提
出过的一些概率论问题：若甲乙两人在赌博游戏中同掷一颗骰子，先掷出是
么点的为胜。甲乙两人开始各掷一次，然后各掷两次，接着各掷三次，依此
继续下去，两人获胜的概率各有多少；或者，甲先掷一次，乙接着掷二次，
甲掷三次，乙接着掷四次，两人获胜的概率又各有多少。通过提出这些问题，
雅克开始了对概率论的研究。
1690年，雅克完成了赌博游戏中胜负概率的计算方法的研究，找到了以
排列组合为基础的一种普遍的数学方法。运用这一方法，可以确定某一事件
的概率范围，即使某个在多种机率中出现的事件概率无限地趋向这个已经确
定的概率。这样，雅克就找到了一种处理随机现象的数学方法。自此之后，
概率论也就从惠更斯所最初提出的一些基本问题，开始成为一门以随机数学
现象为基本研究对象的新的数学分支。同年，雅克在《博物者学报》上发表
了关于概率论的一些初步解答。后来，他又进一步总结了他在概率论方面的
研究成果，完成了 《猜测的艺术》这一早期概率论的奠基之作。在这一著作
中，雅克比较详尽地论述了以下问题：其一，概率论的基本问题；其二，排
列与组合理论的研究；其三，机会和对策中的概率问题；其四，概率论在民
间、道德和经济问题等方面的实际应用。这样，概率论也就由雅克的《猜测
的艺术》的完成而奠定了初步的数学基础。
雅克的《猜测的艺术》虽然直到1713年才出版，但他出版后，即对概率
论的发展产生重要影响。不久以后，这一新的数学分支即成为人们极为关注
的数学领域，新的著作相继问世，新的成果不断出现，直至19世纪成为科学
研究中基本的数学方法。
雅克除了作为变分法与概率论的奠基人而闻名于近代数学史外，还在级
数与解析几何的研究中有过重要贡献。在级数方面，雅克在1704年出版了《关
于无穷级数及其有限和的算术运用》一书，推进了级数理论方面的研究。在
解析几何方面，雅克还在笛卡尔坐标的基础上建立了极坐标。由于极坐标的
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建立，使得曲线及其方程的研究有了新的发展。
雅克是贝努利家族的第一个对近代数学产生重要影响的数学家。
（3）纯粹数学与应用数学的发展
约翰早年也是莱布尼茨的拥护者之一，并与莱布尼茨进行过一些卓有成
效的合作。与此同时，约翰也曾与雅克进行过合作。但是，到了后来，约翰
因急于成名，开始与其兄进行激烈的竞争，有时甚至把其兄的研究成果作为
自己的成果抢先发表。雅克因此对约翰的行为不满。后来，两兄弟即陷入公
开的冲突和对立中，莱布尼茨曾想从中调解，但雅克认为莱布尼茨是蓄意贬
低他的数学成就，因此雅克对莱布尼茨也不满，并转到反对莱布尼茨的方面。
约翰接任巴塞尔大学数学教授席位时，年仅39岁。他活了81岁，长寿
使他有充裕的时间来完成他的数学著作，因此约翰成为近代数学史上少有的
几位多产的数学家之一。他对近代数学的贡献，除了与其兄一道建立变分法
之外，主要在纯粹数学与应用数学两方面推动了近代数学的发展。
在纯粹数学方面，其中主要是在微积分的基础理论研究方面，约翰在曲
线求长和曲面求积的微分方程，在各种不同的积分方法等问题的研究上，均
取得过一些新的成果，这些新成果进一步丰富和发展了莱布尼茨微积分的原
理和方法。
约翰对纯粹数学的贡献，还表现在对微积分所进行的系统化和理论化的
研究工作上。1691年，约翰出版了《微分学初步》，这一著作被当时的大陆
许多大学作为微分学的基础教材。1742年，约翰又发表了《积分学教程》，
这一著作也同时被一些大学作为积分学的基础教材。因此，约翰的这两大著
作被誉为早期微积分的发展中的新的里程碑。
在应用数学方面，约翰把微积分引入到普通力学与天体力学方面。在其
《微分学初步》中，就曾探讨过微分这一新的数学方法在力学以及整个物理
学中的应用问题。1727年，约翰发表了《论运动的交换规律》一文，在普通
力学问题的研究中引入了微积分方法。1734年，又发表了《讨论行星椭圆轨
道，特别是轨道的倾斜度》一文，进一步推进了微积分在天体力学中的应用。
可以说，约翰是继牛顿之后，把微积分引入普通力学和天体力学的又一代表
人物。微积分进入力学的结果，不仅推动了力学及相关的物理学和天文学的
发展，而且推动了数学本身的发展。
（4）数学家族的第二代兄弟
继第一代贝努利兄弟之后，约翰的两个儿子：大儿子尼古拉·贝努利（1695
—1726年）和小