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门术语及三段论法的叙述而已。所幸非形式的推理方法，在讲究实际的科学
家中间发展起来。这种方法，把归纳与演绎结合起来，开始于伽利略，甚至
在演绎方面，也发展成三段论法从来没有想到的方法，但是逻辑学者仍然墨
守成法。
坎贝尔（N。R。ampbeI1）在1920 年指出：在科学家看来，甚至逻辑的三
段论法，似也脱不了归纳方法①。我们举一个熟悉的例子：——凡人都有死，
苏格拉底是一个人，所以苏格拉底也有死。根据观察与实验，我们发现某些
肉体和心理特点，一律都是互相联系的；这个定律我们以“人”的概念来表
达。我们更发现这“人”的概念，是与“死”这一特性有联带关系的，因此
我们得到另一个定律，说这一联带关系是普遍的——凡人必有死。由此可以
推论：这定律适用于个人，而苏格拉底征明也有死。但是如果这样去论证，
那么其中实含有归纳的意义。当然纯粹的逻辑家会说，大前提是假设给定的，
而逻辑所涉及的，只是从大前提演绎而已。但是坎贝尔认为，如果推理果真
全无归纳的因素，那么这种推理必不能得到科学家的信服。
传统的逻辑，以为每一命题，必定是一宾词附于一主词。这个假设，使
哲学家如黑洛尔及布莱德雷等，得出他们的一部分特有的结论，如：只能有
一个真正的主词——绝对——存在，因为如果有两个，这个有二主词的命题，
就不会指定一宾同附于二主词中的任何一个。因此各别的感觉对象，是虚幻
的，并溶化在单一的绝对中。由于假定这个主词一宾词形式，在逻辑上具有
普遍性，有些人就不承认关系时实在性，而想把关系归结为外表上互相关联
的名词的特性。因此科学（主要是研究事物关系的学问）的对象，也象感觉
的对象一样变成虚幻的了。
对称的关系，如二物的相等或不相等，也许可以看做是特性的一种表现。
但是对于柞对称的关系，如一物大于他物，或一物在他物之前，这种说法便
不能成立。因此我们必须承认关系的实在性，这样一来，这种假定世界为虚
幻的，纯逻辑根据便化为乌有了。
或许在习惯于更具体的科学推理的人看来，这种字面上的争论，没有多
大说服力，但是，这种论证却促使人们去寻找数学上的 461 证据。这是我们
在下面所要叙述的。
①
N。R。Campbell，PhySics；TheElements，Cambridge；1920，p。 235。
现代数理逻辑，是在1854 年从布尔开始的，他创设了一种数学符号，用
以从前提推出结论。此后，皮诺（Peano）与弗雷格以数学分析证明传统的逻
辑认为属于同一形式的许多命题，例如“此人必有死”与“凡人必有死”，
是根本不同的。以往的混乱把事物的关系与事物的特性，具体的存在与抽象
的概念，以及感觉世界与柏拉图的理念世界，弄得混淆不清。
数理逻辑使学者很容易处理抽象的概念，并且可以提示一些本来会被忽
视的新的假说。它诱导出一种物理学概念的理论，以及数论的新学说。这个
新学说是1884 年弗雷格发现的，二十年后又为罗素所独立发现。罗素说①：
大多数哲学家都以为物理的与心理的现象，把世界的一切都包括无遗
了。有些人说，数学的对象显然不是主观的，所以必定是物理的及经验的。
另一些人说，数学显然不是物理的，所以必定是主观的及心理的，就他们所
否认的而言，双方都对。但就他们所断言的而论，彼此都错。弗雷格的优点，
就在接受双方所否认之点，并承认逻辑的肚界既非心理的亦非物理的，从而
找到一个第三种论断。
弗雷格把事物之仅为客观的，如地球的轴，与其既为客观又为实在而占
有空间的，如地球自身，加以区别。在这个意义上说，数以及全部数学与逻
辑，既非占有空间的和物理的，也非主观的，而是感觉不到的，并且是客观
的。由此可以得出结论：我们必须把数看做是类——2 是代大所有成双的一
类，3 是代表所有成参的一类等等。正如罗秦的定义所说：“某一类的项，
就是与该类相似的所有各类的类。”这已证明与算术的公式相符，而可以适
用于0，适用于1，以至于无穷大的数——这些数都是其他学说所感觉困难
的。至于类之是否虚设而不存在，那是没有关系的。如果用任何其他有类的
定义性质的东西去代替类，则上述的定义也同样可用。由此可知，虽然数已
变成非真实的，但它们依然是有相等效用的逻辑形式。
有些哲学家对可感觉的世界的实在性表示怀疑，其根据之一就是，无穷
大与连续性据说是自相矛盾的，因而是不可能的。固然没有可靠的经验证据，
去证明物理世界中的无穷大及连续性，但是在数学推理上，它们却是必需的，
而哲学家所谓的矛盾，现在已知其为虚幻的了。
连续性的问题，本质上就等于无穷大的问题，因为一个连续级数，必含
有无穷多的项。毕达哥拉斯遇到了一个疑难：他发现直角三角形的弦的平方，
等于其二边的平方之和，如果三角形的两边相等，则弦的平方，即等于边的
平方的二倍。但毕达哥拉斯学派不久又证明一个整数的平方，不能为另一个
整数平方的二倍，如是则边的长度与弦的长度，是不能以整数相约的。毕达
哥拉斯学派本来相信效是世界的本质，据说得此发现以后，大感沮丧而把它
隐藏起来。几何学是在欧几里得采用的基础上重新建立起来的，不涉及算术，
所以避免了这一疑难。
笛卡尔几何学，恢复了算术的方法，由于利用“无理数”作不可互约的
长度的比数，很快就发展起来。这种无理数，证明与算术的规则相符，远在
近年来找到圆满的定义与解决不可约的问题以前，就被人们深信不疑地加以
采用了。
我们还可以概括地谈谈现代数学家怎样构成无穷大的理论，使芝诺以来
的哲学家所争论不已的疑难问题，归于消失。这个问题本质上是数学问题，
①
Our Knowledge of the External World； p。205。
在数学的方法尚不够精深以前，这个问题是无法研究，甚至于提不出来的。
无穷级数与无穷大，在现代数学的初期，即已出现。它们的性质，有些
希奇，但数学家并不以无穷大的观念为虚幻，而继续应用它们，后来终于为
他们的方法找到逻辑根据。
关于无穷大的困难，一部分是由于字义的误解。这种误解，是由于把数
学上的无穷大，与非数学家的哲学家所想象的无限（一种有些模糊的观念，
与数学问题毫不相干），混为一谈。照字源说：“无穷大”的意义，是没有
止境。但是有些无穷级数（例如现在以前的过去时刻组成的级数，又如无穷
个点组成的线段）有止境，有些则没有，又有些数的集合，虽为无穷，而非
级数。
其他困难，是由于想把有限数的某些特性，如可以数清的特性等，应用
于无穷数。无穷级数虽其项数不可胜数，但可由其自身数类的性质而识别。
并且一个无穷数，不因有所加减，甚至乘除，而变大或变小。现在把所有数
字1，2，3，。。书一横行，而将所有偶数2，4。6，。。在其下面另书一横
行。两行数字的数目相等，但下行乃从所有数的无穷集合中，取去无穷个奇
数而得的。这样，全体显然不大于其部分。此种矛盾，使哲学家否认无穷数
的存在。但是所谓“大于”，其意义颇为含糊。这里的“大于”，乃“含有
较多项”的意义。在此意义上，全体固能等于其部分，而无自相矛盾之病。
无穷大的现代理论，是坎托在1882—3 年提出来的。他证明有无穷个不
同的无穷数，而较大及较小的观念，通常也可应用于无穷数。在此种观念不
能应用的某些情况下，必有新问题发生。例如一长线所含数学上点的数目，
与一短线所含的相等：这里所谓较大较小，并非纯粹算术的，而含有几何上
的新概念。
哲学家所遭遇的困难，大部起于假设有限数的特性，能应用于无穷数。
如果有限的时间与空间，为有限个数的时刻与点所组成，则芝诺的论据或可
正确。为了避免芝诺的矛盾，我们可以有几条出路：（1）否认时间及空间的
实在性；或（2）否认空间及时间为点与顷刻所组成；或（3）坚持认为如果
空间与时间为点与时刻所组成，则点与时刻之数为无穷。芝诺与其许多信徒
选择了第一条出路，而其他如柏格森等则选择了第二条出路。
但是根据其他的理由，无穷数，无穷级数，以及不含连续项的无穷集数
的存在，是必须予以承认的。例如我们可以按1/2，1/4。1/8 等的次序，写
列一个小于1 的分数级数，但在每两个分数之间，尚有其他分数，如7/16，3/8 等等。在此级数中，没有两个分数是相连的，而它们的总数目是无穷的。
然而在它们所有数值的总和之外还有1。因此我们必须承认在一个无穷级数
的总和之外，确还有数的存在。芝诺关于线上的点数的论述，许多可应用于
这分数的集数。我们不能否认分数的存在，因此我们为了有效地避免芝诺的
矛盾，就必须找到一个站得住脚的无穷数的理论。
数学中的无穷数，是在可以计数的数之外的。无穷数不能靠从一个数走
到下一个数的连续步骤达到。它们存在于数类中，只能以数学的术语来下定
义，用数学的方法来加以检验。但凡有资格判断的人士，都一致承认数理逻
辑及无穷数的数学理论，确实是在正确的路上前进。妄图证明感觉对象与科
学定律为虚幻的陈旧的逻辑数据，今已证明其不确了；这一问题仍然存在�