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乍看起来，双倍下注的成绩似乎不错。开始的时候，双倍下注的收益曲线始终领先于其他几种策略数十美元。但是，接着情况突然急转直下，想来是赌徒赶上了坏运气。由于每次下注的金额必须相当于前一次的两倍，所以，如果不能尽快转运的话，后面的损失可能更加惨重。与之相比，其他的收益曲线就不像这样大起大落了。对于双倍下注的赌徒来说，坏运气可能导致致命后果。在上面的模拟实验中，采用双倍下注策略的赌徒在第十九轮就把钱输光出局了，这时候，之后的收益走势曲线就无关紧要了。
代表凯利系统的收益趋势曲线有两个特征。请注意，固定金额下注策略和双倍下注策略的走势曲线都大致呈直线形态，但凯利系统的曲线呈现上升的形态。另外，与其他几条曲线相比，凯利系统的曲线表现出更多波动。
固定金额下注策略和双倍下注策略的走势曲线都是以算术级别增长的，相当于利用这两种策略下注的赌徒挣的是固定的计时工资。虽然自己的财富不断增加，但他们拒绝把新增的财富投入到赌本中去，没有把闲置资金充分运用起来。
相比之下，我们可以看到采用凯利系统的赌徒的财富是以几何级数增长的，原因在于他充分利用了手中的资本。采用凯利系统下注开始可能看不出什么回报，但坚持一段时间就会看到明显的效果。在上图的左半边，也就是从第1轮到第250轮的阶段，采取凯利系统下注的收益曲线与固定金额下注的收益曲线始终不相上下。甚至在大多数时间，固定金额下注的收益曲线都会略高一些。但在此之后，采取凯利系统下注的曲线开始一飞冲天，把其他两个下注策略远远抛在下面。在这次模拟实验中，采取凯利系统下注的赌徒在500轮中把本金增加了74倍之多。
除了凯利系统以外，还有无数其他的按比例下注策略。你可以每次都把全部资金的1％，或者10％，或者90％用于下注；也可以采用乘方的形式用优势值与上一个数字的三次方二者之间的比值作为比例，从全部资金中取出一部分用于下注。但是，与其他的众多按比例下注系统相比，凯利系统有什么与众不同之处呢？最简单的答案就是，使用凯利系统可以保证财富能以最快的速度增值。
下图把凯利系统和另外两种按比例下注策略进行了比较。采用的实验模型与上面相同，也是猜硬币，次数为500轮。可以看到，500轮之后，使用凯利系统下注的收益曲线从1美元涨到了74。46美元。
第44节：第二章（10）
图：几种类似凯利系统的下注策略的比较
标有〃准凯利系统〃的曲线描述的是另一种按比例下注策略的收益变化。根据准凯利系统，每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的一半。可以看到，准凯利系统的收益增长相比之下更加稳定，稳定的收益大多数情况下是件好事，但采取准凯利系统下注的赌徒最后的财富总额却远远低于采取凯利系统的赌徒，只有 16。07美元。
标有〃超凯利系统〃的曲线描述的是每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的两倍的投注策略。本次实验中采取超凯利系统下注的赌徒最后的财富总额是35。88美元。这种〃双倍凯利〃系统非常不稳定，如果运气好的话收益可能非常丰厚，但一旦出现变故，就有可能损失巨大。请注意，在上面图中的开始阶段，三条曲线中表现最好的是超凯利系统，但是好景不长（图左靠下出现了一个火山形状的起伏）。之后，超凯利系统的财富曲线几乎下降到零，而且很长时间都维持在非常低的水平。如果我们把实验无限延长，就会看到采用双倍凯利系统的财富曲线会一再跌到1美元的初始资本甚至更低。
有时结果会更严重。虽然超凯利系统采取的也是按比例下注的策略，但仍然有可能导致破产。如果按照四倍凯利系统下注（每次下注金额相当于总资本的 40％），相应的收益曲线几乎与上图中横向的坐标轴平行，在上图中可能根本无法看到。这样，按照四倍凯利系统下注500轮将会使1美元的初始资金降低到 0。00000038美元。如果继续下注，那么总资本将无限减少，但从理论上讲，在货币单位可以无限减小且没有最低下注金额要求的条件下按照四倍凯利系统下注不会导致血本无归，虽然剩下的本金金额会少得无法计算。
凯利系统所依据的基础是所谓的〃大数法则〃。早在1713年，瑞士的数学家雅各布 伯努利就在一篇论文中提出了这个法则，但一直都被赌徒和投资者误解。雅各布伯努利提出的法则是针对期望值这个非常棘手的概念的。在美国赌场的轮盘赌中，如果轮盘保持百分之百水平放置，把赌注押在红色上面就有18∶38的胜算。是不是这就可以保证每转38次轮盘就能有18次指针指在红色上面呢？答案当然是否定的。（赌场里的事情谁能〃保证〃呢？）是不是如果过去一段时间指针总是指在黑色上面，所以接下来就会〃轮到〃红色呢？答案仍然是否定的。（虽然很多赌徒相信这种风水轮流转的说法。）
那么期望值和这又有什么关系呢？如果要把这条数学定理翻译成浅显易懂的语言，很多人都会使用〃从长期看〃这个词。人们经常会说这样的话，〃从长期看，指针指向红色的概率是18∶36。〃
但〃从长期看〃这句话不过是个口头语罢了，没有什么实际意义。不论你把轮盘转多少次，也无法保证指针指向红色区域与总数的比值与期望值相等。
如果把转盘一连转上380亿次，会不会有180亿次指针指在红色上面呢？答案仍然是否定的。那么，会不会指向红色的次数接近于180亿次呢？这就要看你说的〃接近〃是怎样定义的了。如果你说的〃接近〃上下只差十次，答案几乎肯定是否定的。事实上，实际值和期望值会随着转轮盘次数的增加而提高。
根据雅各布 伯努利的大数法则，我们（只能）知道，随着转动轮盘次数的增加，指针指向红色的次数会不断倾向于接近期望的概率。在轮盘转动数亿次之后，指针指向红色的概率会非常接近18∶38，也就是47。37％。
过去几个世纪以来，无数的赌徒通过实践都得出了下面的结论：大数法则对于赌场中的实际操作没有他们期望的现实意义。也就是说人们对大数法则的期望值是个负数，所以谁也别指望利用大数法则赚钱发财。
你也许会想，如果能找到一个期望值为正数的下注机会，也许可以通过长期应用大数法则来获得收益。但这也不一定。正如我们上面看到的，现实生活中存在着在短期内就破产出局的风险。即使采用按比例下注的方法，仍然有可能破产出局。第45节：第二章（11）
在信息论中，申农多次引用了大数法则。如果通信渠道中充满了噪音干扰，每个比特的值都无法确定，那么就只能利用百分比这个概念了。
凯利是通过模拟手段从期望值为正数的下注或者说投资机会中赚钱的。凯利系统管理资金的原理就是保证赌徒在赌局中坚持足够长的时间，直到大数法则开始起作用，从而带来赢利。
拉斯维加斯
在雷诺进行试验期间，索普特意实地观察了轮盘赌的情况。他发现赌场中用的轮盘和申农地下室里的那个轮盘区别不大，而且大多数都是倾斜放置。
1961年春夏之交，申农和索普终于完成了轮盘赌计算机的设计制作。申农和索普先在家进行了一次虚拟测试，只用了几个小时，两人几百美元的初始投资就增加到24000美元。
接着两人又在申农的工作室进行了一次正式试验，为了隐藏通信装置，他们选用只有发丝粗细的电线连接耳机和藏在口袋中的接收装置，把电线用演员化妆用的阿拉伯胶粘在身上，再在上面涂上和皮肤一样的颜色。
这年6月，索普夫妇两人先行来到拉斯维加斯，不久之后申农夫妇也赶到了。索普回忆道：〃当时除我以外大家都很紧张。〃在1961年，利用工具计算预测轮盘赌的结果完全可以构成违法行为。但四人相信赌场绝不会发现他们的试验。和二十一点的数牌策略不同，轮盘赌的计算预测需要使用专业工具，一旦被发现，就无可抵赖。
于是，四个人决定住在普通的汽车旅馆，以免住在大酒店会招人注意。索普回忆当时的情况时这样说：〃我们担心的是赌场可能会在我们的房间安装窃听装置或者派人检查我们的行李，如果你住在赌场开的酒店里，一定更容易受到监视。〃四个人进行了分工，首先要到赌场中去〃踩点儿〃，观察各家赌场安放轮盘的倾斜角度。一旦发现摆放角度对自己有利的轮盘，就由申农负责上前假装准备下注，站在轮盘前面把每次的号码记在纸上。实际上，手中的纸笔只是掩人耳目，申农暗中用脚趾操纵计算机已经记录下了小球和转子的速度，然后计算机再利用音符密码把信息传到真正的下注人（索普或者是申农的妻子贝蒂）的耳朵里。同时，负责下注的人要假装不认识申农。大多时候都选择由贝蒂下注，因为她看上去显得很单纯，而且留的是长发，很容易就可以把电线遮住。索普的妻子维维安负责望风。由于开始有些紧张，所以他们每次只押一个一角钱的筹码，这样，如果数码押中，就能赢3。6美元。
但是，由于电线太细，总是折断，每次断线都要回到旅馆房间去维修。他们事先考虑到了这个问题，所以随身带了电烙铁。由于电线问题，几个人一直没能放开手脚大干一场。在拉斯维加斯期间，索普向申农演示了自己的二十一点数牌策略。虽然索普的表现完美无缺，但斩获不多，似乎他的数牌策略已经失效，也许是因为幸运女神抛弃了他。
在离开拉斯维加斯的时候，一行人又制订了几个新计划：回去之后把轮