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当时，权证是唯一一种广泛流动的股票期权。索普跟踪的一种认股权证是斯佩里兰德公司发行的，这家公司是开始大批量生产数码电脑的第一家公司。1958年3月7日，斯佩里兰德公司发行了一种权证，权证所有者可以每股25美元的敲定价格购买该公司的股票。而这个权证在1963年9月16日到期，也就是说，公司在这一天营业结束后，斯佩里 兰德公司的权证就失去价值了。
对于认股权证来说，什么才是合理的价格呢？当斯佩里兰德公司的股票交易价格超过每股25美元时，认股权证就会立即变得值钱了。假设斯佩里兰德公司的股票交易价格为每股29美元，那么认股权证的价值至少为4美元，也就是说，以一个权证购买一张股票，可以得到4美元的折扣。
这并不是说，当斯佩里 兰德公司的股票交易价格低于每股25美元时，权证就毫无价值。你仍可以把权证卖给那些认为该公司股票价格将在权证失效前上涨并超过敲定价格的人。
报纸上会定期刊登认股权证的价格，就像定期发布赌马赛事的信息一样。给认股权证定价的人往往会凭借自己的直觉。当你说某个权证的价值是多少时，实际上是在考量该股票的价格在权证失效前在多大程度上可能会上升并超越敲定价格，接着你会进一步考量股票价格会在多大程度上超出敲定价格，整个判断过程非常复杂。认股权证的价格需要反映很多情况，如公司最新推出的一款产品在市场上失利了，或一场官司结束了，抑或是公司的一位高管卖出了大份额股票来买一幅著名画家马谛的作品等。如同蝴蝶效应一样，蝴蝶翅膀的扇动可能会形成飓风，导致满载斯佩里公司高管的游艇沉没，公司股票价格暴跌。可是，谁能非常系统地预测到这些突发事件呢？第62节：第三章（13）
为此，索普想到了随机游走模型。假设人们无法预测引发股票价格变动的事件，那么购买股票期权就是在股票的随机游走上下赌注。索普知道有计算随机游走概率分布的精确方法，但要看随机运动的平均规模有多大，也就是说股票价格变化的幅度有多大，每天是上升还是下降。
索普做了些计算，通过这些计算，他发现大多数认股权证的定价就像赌场一样。与你可能获得的赢利和赢利的概率相比，认股权证的价格定的太高了，尤其是对于那些有效期只有一到两年的权证来说。交易商对股票价格上升的前景看得过于乐观了。
对于一场成本过高的赌局，你往往无能为力，只有拒绝下注。相比之下，如果你发现一种认股权证价格过高，那么你可以将它卖空，这样就可以将原本不利的情况转变为于你有利。
卖空是指交易商出售他尚未持有的证券。交易商可以从第三方借入证券，并以当日的价格售出。交易商向第三方承诺在未来的某一天会将相同的证券转还给他。之所以这样做，是因为交易商预测在未来某个时间证券的价格会有所回落，这样他便可以以较低的价格买入证券，归还给第三方。
然而，卖空的做法存在一些风险。当一个公司的股票价格飞涨时，这个公司的认股权证的价值也会走高。理论上讲，不存在股票或权证价格上升到何种程度的限制，这就意味着，卖空者可能面临的损失也是没有限度的。
与此相反，我们来看一下更为平常的情况，即买入股票或权证，即买涨。这种做法至少存在可能损失的上限，最坏的情况是投入的资金全部沉没。而卖空则有可能带来无限量的损失。
当然，有一种比较古老的做法可以减少这种风险，那就是在几乎同一时间买入并卖出几乎同样的东西。杰古尔德买入〃价格偏低〃的金子，卖给〃价格偏高〃的市场。古尔德无需了解哪里的价格是〃正确〃的，这对他来讲毫无意义。他也无需预测黄金的价格是否会上升还是下降。通过这种即时的买入和卖出，他实际上是将持有黄金的风险降低到最小。他利用现实存在的〃不合理〃的价格差异赚得了可靠利润。
大多数形式的套利都是遵循着古尔德发明的做法进行的。一个套利者买入价格偏低的证券，并同时卖空与此证券紧密相关但价格偏高的证券。在这里，〃密切相关 〃是指后一证券的价格随着前一证券的变化而同步发生变化。以认股权证或期权为例，〃密切相关〃的证券就是该公司的股票本身。
这种做法最初听起来可能非常令人迷惑，其实就像凯利的赛马系统一样，拿你所相信的做赌注，即〃赌信念〃就像在只有两匹赛马的赛场上，比赛结果一定是其中一匹赢，另一匹输。正是由于这个原因，你是有可能尽量减少赔钱的风险的，那就是对这两匹马同时下注，这样你就不会全输。
期权或认股权证的价值会随着股票价格的上升而增长，买入股票并卖出期权的做法，就如同创造了一场赛马比赛，一边会赢，而另一边会输。如果你比其他任何人掌握的信息都准确，那么就可以利用自己所了解的信息调整你的赌注，以获得赢利。
这种多头空头的交易法实际上是对凯利模式的优化，在凯利之前就被用于股票市场了。索普的创新在于，他精确地计算出了需要买入多少股票才能抵消卖空认股权证的风险。这种技术被称作〃得尔塔套期保值〃。〃得尔塔套期保值〃这个词来源于希腊文，其中的希腊字母代表数量的变化。
得尔塔套期保值认为，股票价格任何轻微的变动所带来的收益或损失会被权证价格的变化所抵消。当〃不合理〃的权证价格变动与股票价格变动一致时，你就会赢利。
英国经济学家约翰 梅纳德凯恩斯有这样一句名言。他说，市场维持不合理状态的时间可能会比你能维持偿付能力的时间要长。如果你以〃不合理〃价格买入，但不确定是否能以〃合理〃的价格卖出来获利，那么这样做对你一点好处也没有。你必须知道到什么时候其他〃不理智〃的人才会觉醒并同意你的观点。第63节：第三章（14）
而这正是索普做法的绝妙之处。市场不能永远保持对权证的不合理定价，权证到期时，它的价值会归于零。同时，那些对其价值存在的不理性想法也会变得毫无意义。
如果有人将权证一直持有至到期日，那么他所面临的只有两种结果，一是当股票价格低于权证敲定价格时，一无所获；而另一种结果是当股票价格高于权证敲定价格时获利。这样，关于权证价值的任何非理性情结都将成为记忆。（股票本身也许被不合理定价了，谁知道呢。但问题关键并不在于此。）
打败市场
索普的生活在1964年的夏天发生了转变。当时他在新墨西哥州州立大学工作的资助到期了，而这所大学数学系似乎被一群理论分子所掌控。于是索普开始寻找新的工作。当时加利福尼亚大学在奥兰治的欧文新设了一个校区。索普和妻子维维安对南加州印象都很好，所以他就在那里参加了面试，得到了一个工作机会并欣然接受了。
在加利福尼亚大学欧文校区工作的第一天，索普无意中向计算机科学系的主任朱利安 费尔德曼提到自己对权证很感兴趣。费尔德曼回答说：〃哦，我们这里也有一个人对权证很有研究。〃
他提到的是一名经济学家，西恩 卡索夫。卡索夫在哥伦比亚大学作博士论文的时候，研究的就是如何确定权证的合理价格。虽然没有找到问题的明确答案，但他对这个问题的现实意义十分清楚，而且他已经在交易权证了。
费尔德曼向卡索夫介绍了索普。他们决定就这个课题举行每周一次的研讨会。当时没有学生参加这个研讨会，只有索普和卡索夫每周碰面讨论如何才能致富。
索普也开始做权证交易了。如其所愿，他发明的对冲体系发挥了很好的作用。到1967年，索普将他的资金从刚开始的4万美金炒到了10万美金。
当然，索普的这个避险体系也不是万无一失的。当时的权证比较少，市场流动性很差，如果有人一下子卖空了很多权证，在他需要的时候却可能很难买回来。交易本身的〃人为〃需求也会推动权证的价格上涨。这对于索普来说可不是个好消息，因为他当时认定的权证会越来越便宜。
得尔塔套期保值体系只能帮助交易者股票价格在微小波动时获得保护。如果股票价格发生巨大的振荡，就必须将股票和权证买入或卖出来进行重新调整。这就意味着交易者必须密切地关注股票和权证的价格。
有些时候，一些公司可能会改变行使权证的期限，这对交易来说简直是灭顶之灾。由于一些这样或那样的原因，不是每一笔权证交易都能获利。不同于许多年轻的交易者，索普非常清楚赌徒输光的理念。他能够估算获利的概率，并使用凯利公式来确定自己不会在任何一笔交易中投资过多。
1965年底，索普申请加利福尼亚欧文校区的全职教授工作时，写信给申农，请申农为他写推荐信。在信中，索普提到：
〃在经历过几次失败之后，我终于能够在股市中得心应手了。针对股市的一'小'部分，我设计出了一套完整的数学模型。通过这个模型，我可以证明预期回报率能够达到每年33％，并且对模型的经验推理多种多样，范围极广大大超过那些对此怀疑的人们所说的范围。过去的记录对33％这个数字本身不会有太大的影响。假设我每年调整一次投资组合，通过对投资组合的持续关注，我每年的净投资回报率可以超过50％。但是由于具体的细节我还没有完成，所以目前还只能做到一个较低的回报率。在过去的几个月我把我所拥有的微薄的资金中的很大一部分进行了投资。我们曾经设定了实验性的最初目标，即每两年资金翻一倍。现在看来，我们离实现目标已经不远了。〃
也�