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橄蟪隼吹男灾试绞蔷哂衅毡樾裕飧鲂灾示驮狡斗Χ泻苌儆么Φ奈Ｏ眨蛭杂谝磺卸寄苁视谩Ｌ逑质砺呒嘉氐愕摹胺从吵橄蟆保╝bstraction réfléchis… sante）的性质则不是这样，恰恰相反，它不是从容体里抽象出来的，而是从人们对于客体所加上的动作、并且主要地是从这些动作的最普遍的协调作用（coordination）之中抽象出来的；例如从汇集（réunir）、赋序（ordonner）和找出对应关系（mettre en correspon… dance）等等过程里抽象出来。然而人们在群中看到的，正好就是这些有普遍性的协调作用，首先就是：a）回到出发点的可能性（群19 的逆向运算）；b）经由不同
①
＇译者按：本书说的“一个集合”或“一个整体”都指“ensemble”；相对于多个而言译为“集合”，也指
数学上的“集（合）”；相对于部分而言译为“整体”。它与“totalité” 有时相同，但后者有时指性质，译
为“整体性“。＇
途径而达到同一个目的、但到达点不因为所经过的途径不同而改变的这种可能性（群的结合律性质）。至于组合（如汇集等）的本性，可以不受顺序的制约（可互相置换的群），也可以建立在必然的顺序上。
正因为这样，群的结构就成了一个确实有严密逻辑联系的工具，这个工
具因内部的调整或自身调节作用而具有自己的逻辑。事实上，这个工具通过
其自身的活动，使理性主义的三个基本原理发挥了作用：在转换关系的可逆
性中体现了不矛盾原理；中性成分的恒定性保证了同一性原理；最后一个原
理人们较少强调，但它同样是一个基本原理，就是到达点不受所经途径不同
的影响而保持不变的原理。例如，在空间里位移的一个整体，就是这样（因为，
两个连续的位移仍旧是一个位移；因为一个位移能够被逆向的位移或“返回”
所抵消，等等）。然而位移群的结合律性质相当于“迂回”的行为，在这一点
上，对于空间的一致性来说是基本的。因为，如果到达点因所经途径不同而
时常在改变的话，那就会没有空间可言，而只有可与赫拉克利特所谈过的那
条江相比拟的永恒流水了。
其次，群是转换作用的基本工具，而且还是合理的转换作用的基本工具。
这种转换作用不是一下子同时改变一切，而是每一次转换都与一个不变量联
系起来。这样，一个固体在习常空间里位移，就让它的大小保持不变；一个
整体被分成为许多部分，就让总和保持不变，等等。只要有了群结构，就完
全可以揭露梅耶森（E。Meyerson）用来建立他的科学认识论的那个反命题的人
为性质了；按照他的反命题，一切变化都是非理性的，只有同一性才是理性
的特点。
群作为转换作用与守恒作用不可分割的结合，是构造论的无与伦比的工
具。这不仅由于群是一个转换的体系，而且还因为，并且主要因为，通过一
个群分化成它的子群，以及有可能通过这些子群之一过渡到另一些子群，这
些转换在某种程度上是可以加以配方的。就是因为这样，除了被位移图形的
大小之外（因此是距离），位移群让它的角、平行线、直线等保持不变。于是
人们能使大小改变而保持其余一切不变，就得到一个较普遍的群，而原位移
群成了这个更普遍的群中的一个子群：这就是相似群，可以在不改变形状的
情况下放大图象。接着，人们可以改变图象的各个角，但是保持它原来的平
行线和直线等，这样就得到了一个更普遍的群，而上述相似群就成了它的一
个子群，这就是“仿射”几何群，例如，把一个菱形改变成另一个菱形，这
个群就要发生作用。继续把平行线改变而保留直线，于是就得到一个“射影”
群（透视等），先前那些图象所构成的群就成了它嵌套的子群了。最后，连这
些直线也不保留，而在某种程度上把某些图象看作是有弹性的，唯一被保留
下来的是图象上各个点之间一一对应的、或对应连续的［译者按：这里“一
一对应的”和“对应连续的”都用的是数学集合论里所说的在两个集合之间
各成分只有一对一的对应关系的意义］对应关系，于是这就产生了最普遍的
群，即拓朴学所特有的“同型拓扑”（homéomorphies）群。这样，各种不同的
几何学原先看来是静态的、纯粹图形化的、分散在不相联系的章节里描写的
模型，现在使用群结构之后，就正好形成了一个巨大的构造，其转换作用，
因为有了子群之间的嵌套接合关系（emboitenient）①，就可以使得从一个子结
①
译者注：嵌套接合（emboitement），或译“包含”、”镶嵌”关系。在皮亚杰的语汇中是一个逻辑概念，用来指一系列大类套小类、小类又套更小类的关系。丈中欧氏几何戍为投影几何一部分，投影几何又成为
构向另一个子结构过渡成为可能（且不谈普通测量学；我们可以依靠拓扑学，从普通测量学中引出非欧几何或欧氏几何的特殊测量学，从而再回到位移群上来）。克菜因（F。 21Klein）在《埃尔兰根纲领》（Programme d’Erlangen）这部著名著作里所陈述的，就是这个从图形几何变成一整个转换体系的根本改变。这是由于群结构的运用而为我们取得了的可以称之为是结构主义的确实胜利的第一个实例。
6。母结构
但这还只是一个部分的胜利。在数学界可以称之为结构主义学派的，也就是布尔巴基学派（les Bourbaki）＇译者按：“Nicolas Bourbaki”是用这个名字发表著作的一群法国数学家的集体笔名＇的特征的乃是企图使全部数学服从于结构的观念。
传统的数学，是由各不相关的章节如代数、数论、数学分析、几何、概率论等等所形成的一个整体，其中每一部分研究一个特定的领域，各自研究若干被内在性质所决定的“存在”或对象。群结构可以应用于极不相同的成分，而不是仅仅适用于代数的运算。这个事实促使布尔巴基学派按照类似的抽象原理来展开对种种结构的研究。如果我们能把诸如数、位移、射影等（而我们已经看到，这里既有运算的结果，也有加在运算本身上的运算）这些已被抽象化了的对象称为“成分”，群的特性却不是由这些成分的本性来确定的。群以高一级的新的抽象超越这些成分；这新的抽象就是要抽绎出我们可以使任何一种成分都能受其支配的某些共同的转换规则。同样，布尔巴基学派的方法，就是用组成同型性（isomorphis…mes）的办法，去抽绎出最普遍的结构，使各种不同门类的数学成分，不问这些成分来自哪个领域，完全根本不管它们各自的特殊性质，都能服从于这些最普遍的结构。
这样一件工作的出发点，是某种归纳法，因为我们所研究的各种基本结构的数目和形式都并不是先验地推演出来的。这种归纳法，导致发现了三种“母结构力，即所有其它结构的来源，而它们之间被认为是再不能互相合并了（三这个数目，是经逆退式分析得到的结果，不是某种先验构造的结果）。首先是各种“代数结构”，代数结构的原型就是群，但是还有群的派生物（“环”＇anneaux 英文为rings＇、“体”＇corps 英文为fields＇，等等）。代数结构都是以存在着正运算和逆运算为其特点，即有从否定意义上体现的可逆性（如T 是正运算，T…1 是它的逆运算，则T…1·T=0）。其次，我们可以看到有研究关系的各种“次序结构”，它的原型是“网”（re…seau 或treillis，英文为lattice 或network），也就是一种普遍性可以和群相比拟的结构，这种结构最近才有人进行研究（戴德金德＇Dedekind＇、比尔霍夫（Birkhoff〕等人）。“网”用“后于”（succède）和“先于”（précède）的关系把它的各成分联系起来；因为每两个成分中总包含有一个最小的“上界”（后来的诸成分中最近的那个成分，或“上限”＇supremum＇）和一个最大的“下界”（前面成分中最高的那个成分，或。。下限”＇infimum＇）。网和群一样，适用于相当大量的情况（例如，适用于一个集合中的“部分集合”或“单化复合体”＇simplexe＇
拓扑学的一部分，就是这种情况。这种互套关系，可以从两个方面来看：从小到大，是小的镶嵌在大的里面；从大到小，是大的套在小的外面，所以译为嵌套接合关系。
①，或适用于一个群和它的那些子群，等等）。网的可逆性普遍形式不再是逆向性关系了，而是相互性关系：如用加号（十）23 替换乘号（·）、用“先于”关系替换“后于”关系，就使“A·B 先于A 十B”这样一个命题转换成了“A ＋B 后于A·B”这样一个命题了。最后，第三类母结构是拓扑学性质的，是建立在邻接性、连续性和界限概念上的结构。
这些基本结构被区分出来并被阐明了特性之后，其它结构就通过两个过程接着产生：或者通过组合的方式，把一些成分的整体，同时放到两个结构中（例子是代数拓扑学）；或者通过分化的方式，也就是说，硬性规定某些确定子结构的限制性公设（例子是，用引进直线守恒，接着是乎行线守恒，接着是角的守恒，？？等的办法，以连续一个接一个嵌套的子群的形式，从同型拓扑群中派生出来的各种几何群。参见第五节）。人们同样还可以从强结构到“比较弱的结构”进行分化，例如，一个结合律性质的“半群”，既没有中性成分，也没有逆成分（自然数》0）。
为了把这些不同方面互相联系起来，为了帮助说明结构的普遍意义可能
是什么情况，值得先思考一下：“数学建筑学”（布尔巴基学派用语）的基础，
是否具有“自然的”性质，或者只能建立在公设化的形式基础上？这里我们
已经可以在“自然数”指正整数的意义上使用“自然（的）”这个术语了；正
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