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能不想法说明并非如此。
弗雷格以前的作者都把算术的哲理想错了。他们这些人所犯的错误是一个很自然的
错误。他们以为数目是由数数儿得来的。他们陷入了无法解决的困境，是因为可以算做
一个的东西，也一样可以算做多。请以这样一个问题为例：“英国有多少足球俱乐部？”
在回答这一个问题的时候，你把每一个俱乐部当做一，但是你也一样可以问：“某某足
球俱乐部有多少会员？”那样，你就把这个俱乐部当做多了。而且，如果甲先生是这些
俱乐部之一的一个会员，虽然他原先算做一，你这样问也一样正当：“甲先生是由多少
分子而成的？”那么，甲先生就算是多。所以，显而易见，从计算的观点来说，使什么
东西之为一，不是这件东西的物质构造，而是“这是什么的一个具体例子？”这个问题。
你从计算所得来的数目是某种集体的数目。在你数这个集体以前，它无论什么数目都有。
只是按某种东西的许多实例来说，这个集体才是多。这个集体又是另一种东西的一个实
例，在数数目的时候是按实例来说算做一。这样我们就不得不面向这一个问题：“一个
集体是什么？”和“一个实例是什么？”若是不用命题函项，二者都无法理解。一个命
题函项就是一个式子，其中包含一个变项，一旦给这个变项定一个值，这个式子就成了
一个命题。举例来说，“ｘ是一个人”是一个命题函项。如果我们用苏格拉底或柏拉图
或任何别的人来代替ｘ，我们就得到一个命题。我们也可以用一个什么不是人的东西来
代替ｘ，我们仍然得到一个命题，虽然按这一个例子来说这个命题是不能成立的。一个
命题函项仅是一个式子而已。它本身并不能表示任何东西。它可以作一句话的一部分，
这句话确有所断定，能成立或不能成立：“ｘ是一个使徒”是没有意义的。但是“ｘ有
十二个值，因此‘ｘ是一个使徒’是能成立的”是一个完整的句子。类似的话也可以用
于实例这个概念。我们把某种东西当做一个实例的时候，我们是把它当做一个命题函项
里一个变项的一个可能有的值。如果我说：“苏格拉底是人的一个实例”，我的意思是
说，苏格拉底是ｘ的一个值，因此“ｘ是一个人”是能成立的。经院哲学家有一句格言，
意思是说，一和存在是同义语。这句格言只要大家信以为真，就没有法子把１的意义弄
明确。事实的真相是，存在是一个没有用处的字。而且，误用这个字的人应用这个字所
应用到的那种事物既可以是一，也往往可以是多。·一不是事物的一个特征，而是某些
命题函项的一个特征，就是说，有以下这种特性的那些命题函项：有一个ｘ使这个函项
为真，而且这个ｘ是这样，如果ｙ使这个函项为真，ｙ就和ｘ是同一的。这是一元函数
的定义。１这个数目是一元的特性，这种特性是为某些函数所具有的。同样，零函数是
一个对于ｘ的所有的值来说都是错误的函数，成为一个零函数，其特性是０。
关于数的那些旧的学说，到０和１以上，总是遇到困难。
最初使我得到很深的印象的是皮亚诺对付这些困难的本领。
但是须待很多年之后我才得到这个新观点的全部结论。在数学中想出“类”来是方
便的。有一个长的时期，我以为把类和命题函项加以区别是必须的。可是，我最后得到
的结论是，除非是一种技术上的手段，这种区别是不必要的。“命题函项”这种话听起
来也许可怕，却无怕的必要。有很多时候我们可以用“特性”这个字来代替。所以我们
可以说，每个数是某些特性的一种特性。但是，除了做最后的分析，继续用“类”这个
字也许更容易一些。
以上所说的理由使我得出来的关于数的定义，弗雷格已先于我十六年就得出来了。
但是关于这一点，我是在我重新发现这个定义大约一年以后才知道的。我对于２所下的
定义是一切双的类，３是一切三个一组的类，等等。一双的定义是一个类，这个类有ｘ
项和ｙ项，ｘ和ｙ不等同，并且，如果ｚ是这一个类的一项，ｚ就和ｘ或ｙ相等。一般
说来，一个数就是一组的类，这一组类有一种特性，这种特性叫做“相似”。
这可以有如下的界说：如果有一种方法把两个类的项一对一地配合起来，这两个类
就是相似。举例来说，在一个一夫一妻制的国家里，你可以知道结了婚的男人的数目是
和结了婚的女子的数目相同，用不着知道二者究竟有多少（我是把寡妇和鳏夫除外）。
还有，如果一个人没有残缺一条腿，你大概可以确实知道他右脚鞋的数目和他左脚鞋的
数目是一样的。
在一次聚会中，如果每人都有一把椅子坐，并且没有空着的椅子，那么椅子的数目
就必是和坐椅子的人的数目是一样的。
在这些例子中，一类里的那些项和另一类里的那些项之间有所谓一对一的关系。相
似正是这种一对一关系的存在的定义。
任何类的数可以说就是所有与它相似的那些类。
这个定义有多方面的长处。它能应付所有从前关于０和１所发生的问题。０就是没
有项的那些类的类，也就是说，它是一个类，其唯一的项是一个没有项的类。１是一些
类的类，那些类的特性是，它们是由与一个ｘ项相等的任何东西而成的。这个定义的第
二个长处是，它克服了关于一和多的困难。
因为所计算的项是按一个命题函项的实例来计算的，所含的一只是命题函项的一。
这个命题函项的一决不和实例的多相抵触。但是比这两个长处更重要的是，我们就不把
数当做形而上学上的实体了。事实上，数就只成了语言上的便利，不比“等等”或“即”
更有内容。克罗耐克研究数学的哲理，说：
“上帝造了整数，数学家们造了其余的数学装置”。他这话的意思是说，每个整数
必须有一个独立的存在，但是别类的数就不必这样。有了前面的关于数的定义，整数的
这个特权就消失了。数学家的根本的器具就化为·或、不、一切、一些等这样一些纯粹
是逻辑上的名辞了。在知识的一个部门里所需要的那些意义不明确的术语和未经证明的
命题，我把它们的数目消减了，这是我第一次感到奥卡姆剃刀的用处。
上面关于数的那个定义还有一个长处，是极其重要的。那就是，这个定义扫除了关
于无限数的困难。只要数是由把项数一数得来的，那就不容易想象一次不能数完的一些
集团的数目。举例来说，你不能把有限数数完。无论你数多么久，后面总还有更大的数。
所以，只要数是从数数儿得来的，似乎谈有限数的数目就是不可能的。可是似乎数数目
只是知道一个集体里有多少项的一种方法而已，并且只能用于那些有限的集体。应合这
个新学说的数数目的逻辑是这样：例如，假定你是数金镑钞票。你心里努一把力量，使
这几张钞票和１，２，３等数目之间有一对一的关系，直到数完钞票为止。按照我们的
定义，你就知道，钞票的数目是和你念过的数目一样。
而且，如果你是从１开始的，并且这样下去没有遗漏，你念过的那些数目的那一个
数目是你念过的最后的那个数目。这个办法你不能用于无限的集体，因为人生是不够长
的。但是，因为数数目再也不重要了，你也就用不着关心了。
既已把整数象以上作了界说，就没有困难引伸其义以应数学的需要。有理分数是来
自乘法的整数之间的比数。实数是一组一组的有理数，这些有理数是由零以上一直到某
点所有的东西而成。举例来说，二的平方根是所有平方少于二的那些有理数。我相信我
是这个定义的发明者。它解决了一个谜，对于这个谜，自从毕达哥拉斯那个时代以来所
有的数学家都没有办法。复素数可以看成是成双的实数，所取“双”的意义是，其中有
一个第一项和一个第二项，也就是说，其中项的次序是很重要的。
除了我所提到的事项以外，在皮亚诺和他的门徒的工作中还有一些东西使我喜欢。
我喜欢他们不用图形发展几何学的方法，这样就表示康德的直观是用不着的。我也喜欢
皮亚诺的曲线，这个曲线普及于一整个范围。在我遇到皮亚诺以前，我已经充分知道关
系的重要性。所以我立刻就着手用符号处置关系逻辑，以补充皮亚诺所做的工作。我是
在七月之末遇见他的。在九月里我写了一篇文章讨论关系的逻辑，发表在他的学报里。
我把同一年的十月、十一月和十二月用于撰写《数学的原理》。现在那本书的第三、第
四、第五和第六部分和我在那几个月所写的几乎完全是一样的。可是，第一、第二和第
七部分我后来又重新写过。我在十九世纪的最后一天，也就是一九○○年的十二月三十
一日，写完《数学的原理》的初稿。那年六月以后的几个月是我智力活动的蜜月，无论
在此以前或在此以后，我都不曾尝到过。每天我都发现我懂得了一些前一天不曾懂得的
东西。我以为一切困难都解决了，一切问题都结束了。但是这个蜜月没有能持久。第二
年的年初，智力活动上的悲哀充分地降到了我的头上。
我的哲学的发展
第七章 《数学原理》：
哲学方面
自一九○○直到一九一○这些年，怀特海和我把我们大部分的时间都用于后来所成
的《数学原理》。虽然这部著作的第三卷到一九一三年才出版，我们在这部书里的任务
（除去校对）是在一九一○年完成的，我们在那一年把全部稿子交给了剑桥大学出版社。
我在一九○二年五月二十三�