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莱穆塞认为，对于用枚举来给一个无限的类下定义，并没有逻辑上的异议。我们不能这
样来给一个无限的类下定义，因为我们总是要死的，但是我们不免于死是一件经验上的
事，这件经验上的事逻辑学家们是应该置之不顾的。他认为，根据这一点，乘法公理是
一个重言式。例如，再回头讲那个有无限双袜子的百万富翁。莱穆塞主张，没有必要定
一个规则从每双袜子里挑一只。他认为，就逻辑来说，一个无限数目的任意选择是和一
个有限数目的选择一样可以容许的。
他把一个类似的观点应用于改变命题函项这个概念。怀特海和我认为一个命题函项
是含有一个未定变项的一个表达法，一旦给这个变项指定一个值，就变成一个普通的句
子。例如“ｘ是有人性的”，一旦我们用一个专名来代替“ｘ”，就变成一个普通的句
子。这样来看命题函项们，它们是由内包而成（关于变项或变项们除外）。“是有人性
的”这些字形成许多普通句子的一部分，命题函项是造若干这类句子的一个方法。函项
的值因变项的不同的值而确定，变项由于语句内在的特性而有不同的值，莱穆塞关于命
题函项的想法颇为不同。
他把命题函项只看做是使命题和变项的值有相互关系的一种方法。除了以前下过定
义的那个断言函项的概念（为了某些目的，我们仍将需要这种断言函项），我们用外延
来给命题函项的新概念下定义（倒不如说是说明，因为在我们的系统中，必须认为它是
不能下定义的）。一个个体的这样一个函项是由命题和个体之间外延上任何一——多关
系引起的；也可以说是一种相互关系（不管能实用不能实用），这种相互关系把一个独
特的命题联合到每一个个体上，个体是函项的主目，命题是它的值。
如，A（苏格拉底）或许安女王已经死了，A（柏拉图）或许爱因斯坦是一个伟人；
AｘE只是Aｘ命题们和ｘF个体们的一个任意的联合（《数学的基础》，第５２页）。
把这个新解释用于“命题函项”这个概念，他就能废除了可化归性公理，也能用在
符号上同《数学原理》里的定义没有区别的东西来为“ｘ＝ｙ”下定义，虽然那个定义
现在有了一个新解释。这样他就成功地保留了《数学原理》的符号部分，几乎没有变动。
关于这个符号部分，他说，“形式上，它几乎没有变更；但是它的意义已经大大改变了。
这样保留形式，而改变解释，我是追随那一大派数理逻辑学家的，他们借着一系列惊人
的定义，从怀疑论者的手中拯救了数学，并且为命题提供了一个严格的论证。只有这样
我们才能使数学免遭柏劳尔和魏勒的布尔什维克式的威胁”《数学基础》，第５６页）。
关于莱穆塞对“命题函项”这个概念的新解释的有效性，我是很不容易拿定主意的。
我觉得，实体对命题的一个完全任意的相关是不能让人满意的。请以自“对ｘ所有的值
来说，fｘ为真”到“fａ”这个推理为例。按莱穆塞对“fｘ”这个概念的解释，
我们不知道“eａ”可以是什么。相反，在我们能够知道“fｘ”的意思是什么之前，
我们必须知道“fａ”和“fｂ”和“fｃ”等等，贯穿全宇宙。一般命题就失掉了
它们存在的理由，因为它们之所断定只能借枚举所有单独的实例来说明。不管你对于这
个非难的意见如何，莱穆塞的建议的确是很巧的，而且，即使不能完全解决所有的难点，
很可能路子是对的。莱穆塞自己是有怀疑的。他说，“虽然我对于怀特海和罗素的主张
试加改造我认为克服了很多难点，却不能认为这种改造是完全满意的”（《数理逻辑》，
第８１页）。
在另一件事上，我认为莱穆塞的研究大家必须承认确是对的。我已经列举了各种矛
盾，其中一类的例子就是那个人，他说“我说谎呢”，而另一类的例子是，是否有一个
最大基数的问题。莱穆塞证明，前一类是和一个字或语句之于其意义的关系有关，是把
二者弄混的结果。如果避免了这种混乱，这类的矛盾就没有了。莱穆塞主张，另一类矛
盾只能用类型学说来解决。在《数学原理》里，有两种不同的层型。有外延阶层：个体，
个体的类，个体的类的类，等等。莱穆塞保留这个阶层。但是还有另外一个阶层，正是
这另外的那个阶层使可化归性公理成为必需的。这就是某一对象的某一主目或性质的函
项阶层。先是断言阶层，这个阶层不指任何函项总体；其次是指断言函项总体的函项，
如，“拿破仑具有大将的一切特长”。我们可以称这些为“第一级函项”。然后是指第
一级函项总体的函项，这样下去，以至于无穷。莱穆塞用他对于“命题函项”这个概念
的新解释，取消了这个阶层，这样就只留有外包阶层。我希望他的学说是有效的。
虽然他是以维根斯坦的一个门人来写书，并且除了维根斯坦的神秘主义之外，一切
都跟着他走，他探索这个问题的途径却是非常不同的。维根斯坦发表一些格言，让读者
测量其高深。他的一些格言从字面上看是和符号逻辑的存在很难相合的。正相反，即使
莱穆塞追随维根斯坦追随得很紧，他却极其小心地说明，（不管所讲的是什么学说，）
如何能把这个学说配合到数理逻辑的主体里去。
有大量的、深奥的文献论述数理逻辑的基础。除了在《对意义与真理的探讨》中讨
论外延性和原子性原理和排中律以外，自一九二五年出版第二版《数学原理》以后，我
没有做纯是逻辑的研究。所以，后来关于这个科目的研究没有影响我在哲学上的发展，
因而也就不属于本书的范围。
我的哲学的发展
第十一章 认识论
自一九一四年的八月到一九一七年之末，我是全神忙于反对战争的事。但是到了一
九一八年之初，我就已经相信我无法进一步做出对于和平有益处的事。我尽快写了一本
原先约过的书，名《到自由之路》。可是这本书一写完，我就又开始研究哲学问题了。
我在前章中已经讲到讨论逻辑原子主义的那些讲演了。这些讲演正是我进监狱以前讲完
的。在监狱里，我先是写了一篇论辩性的批评杜威的文章，然后写了《数理哲学入门》。
在此之后，我发现我的思想转向了认识论，转向了心理学和语言学的似与认识论有关的
那些部分。这在我的哲学兴趣中多少是一个永久性的转变。就我自己的思想来说，兴趣
转变的结果具体表现在三本书里：《心的分析》（１９２１）；《对意义与真理的探讨》
（１９４０）；《人类的知识：其范围与限度》（１９４８）。
在这项工作一开始，我并没有固定的信念，而是只有一些箴言和成见。我浏览的范
围很广，最后发现，就和写《数学的原理》以前阅读的情形一样，我所阅读的那些东西
大半和我的目的并没有关系。
在一开始的那些成见中，我应该列举六项，特别重要：
第一，我觉得最好是强调动物和人的心理的连续性。我发现普通是反对说动物行为
具有理智。对此我大致是同意的。但是我认为解释动物行为所采取的方法比解释人类的
所谓“思维”、“知识”或“推理”时所容许用的方法在范围上要广得多。由于有这种
成见，我阅读了很多关于动物心理的书。有趣的是，在这一方面有两个学派，最重要的
代表是美国的桑戴克和德国的柯勒。好象动物行动的方式总是表示观察者的哲学的正确
性。这个破坏性的发现可以适用于更广的范围。十七世纪时，动物总是凶猛残忍的，但
在卢梭的影响下，大家开始崇拜野人，认为野人是高贵的，动物也在被崇拜之列，皮考
克曾藉“乌兰·豪顿先生”对此加以嘲笑。在整个维多利亚女王当政时期，所有的类人
猿都是道德高尚的一夫一妻主义者。但是在放纵的二十年代，它们的道德经历了一场灾
难性的衰退。可是动物行为的这一方面对我没有关系。我所关心的是观察动物如何学习。
美国人所观察的动物都是狂乱地跑来跑去，直到偶然碰到解决的办法。德国人所观察的
动物是静静地坐在那里抓脑袋，后来从内意识里想出了解决的办法。我相信这两种观察
都完全是可靠的，动物采取什么行动要看你让它解决哪种问题。关于这一个问题，我阅
读的结果是使我十分警惕运用任何学说越出已由观察证实了的范围。
有一个领域，其中已经有了大量精确的实验知识，那就是巴甫洛夫观察狗的条件反
射。这些实验产生了一种哲学，叫做行为主义，曾经十分流行。这种哲学的要点是，在
心理学里，我们要完全依靠外部的观察，而决不承认完全根据内省得来的材料。就一种
哲学来说，我从来不愿意接受这种意见。
但是当做一种方法尽量来采用，我认为是有价值的。我预先就决定我要尽可能推行
这种方法，同时仍然相信它是有限度的。
第二，除了赞成行为主义方法的成见以外，另一种成见是赞成尽量用物理学来作说
明。我一向深信，从宇宙的观点来说，生命和经验在事物的因果关系中并不重要。天文
学的世界统治我的思想。与银河星系相比，我深深感到我们这个行星的渺小。在莱穆塞
的《数学的基础》中我发现有一段，我不以为然：
“好象我和一些朋友意见不同的地方是不把物体的大小看得重要。我面对茫茫无际
的天空毫不觉得自卑。星星也许是巨大的，但是它们不会思维，不能有所爱。这些特性
倒比物体的大小给我的印像要深得多。我并不因为体重将近十七觉得增加了光彩�