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伞５谝桓龈亩窃诒硎久蔚氖霞右桓龀Ａ浚贸�1/（1＋常量），1/（2＋常量），1/（3＋常量），1/（4＋常量），等等。进一步的修改是，以其平方或立方，或平方根，或其他次幂来代替这些分数。例如，若选择平方将能得到序列：1/（1＋常量）2，表8…1名次（n）城市人口（1990）未修正的季普夫定律用n 除10；000；000修正后的季普夫定律用（n － 2/5）3/4除5；000；0001 纽约7；322；564 10；000；000 7；334；2657 底特律1；027；974 1；428；571 1；214；26113 巴尔的摩736；014 769；231 747；63919 华盛顿特区606；900 526；316 558；25825 新奥尔良496；938 400；000 452；65631 堪萨斯城（密苏里州） 434；829 322；581 384；30837 弗吉尼亚滩（弗吉尼亚州） 393；089 270；270 336；01549 托利多332；943 204；082 271；63961 阿灵顿（得克萨斯州） 261；721 163；934 230；20573 巴特鲁日（路易斯安那州） 219；531 136；986 201 ， 03385 哈里（佛罗里达州） 188；008 117；647 179 、24397 贝克斯菲尔德（加州） 174；820 103；093 162；270摘自《1994 年世界年鉴》的美国城市人口与原季普夫定律及它的一个修正形式的吻合情况。1/（2＋常量）2， 1/（3＋常量）2， 1/（4＋常量）2，等等。在更普适的幂定律中，幂1 对应于季普夫定律，幂2 对应于平方（律），幂3对应于立方（律），1/2 次方对应于平方根（律），依此类推。
数学家们也给3/4 次方或1。0237 次方这样的幂赋予了意义。通常，我可以将这些幂看作是1 加上另一个常数。就如给名次加上一个常数一样，给幂也加上另一个常数。因而，季普夫定律就是上述两个常数均为零的特殊情形。
曼德布罗对季普夫定律的推广仍然相当简单：附加复杂性仅在于两个新的可调常数的引入，一个加到名次上，一个加到幂1 上〔顺便提一句，可调常数通常被称为“参数”（Parameter），不过近来，可能受到与之相像的“周长”（perimeter）一词的影响而被广泛地误用了。修正后的幂定律中有两个附加参数〕。在任何给定情况下，我们可以引入那样两个常数，并通过调节这两个数而使之与表中数据达到最佳的吻合，而不必拿最初的季普夫定律去与数据作比较。从图8…1 中我们可以看出，稍经修正的季普夫定律明显比未修正的规则（即两个常数均设为零的情形）能更好地描述人口数字的变化。而其实后者已经能够相当好地描述那些数了。“稍经修正”的意思是，在用作比较的修正幂定律中，所引入的新常数相当小。（表中的常数纯粹是通过考察那些数据而选择出来的。一个最佳的吻合将能得到规律与实际人口数字之间的更好的一致性。）
当季普夫最初描述他的定律时，人们只知道极少数其他标度定律。他试图挑起这样一个重大的讨论，即他的原理怎样使行为科学与物理学区别开来，因为物理学中不存在这些定律。如今，在物理学中发现了许许多多的幂定律之后，各种评论似乎倾向于贬损而不是抬高季普夫的声誉。据说还有另外一个因素也使他名声大降，那就是他对希特勒重新分配欧洲领土的计划表示出某种同情，但他辩论说希特勒的征服趋向于使欧洲各国人口更加符合季普夫定律，这也许很能说明他的态度。
不管这件事情是真是假，它都教给我们一个关于将行为科学应用到政策上的重要教训：正因为可能会出现某些特定关系，所以，那些完全符合标度定律的情况并不总是理想的。在埃斯彭研究所（Aspen Institute）最近的一期讨论班上，我也遇到了这个问题。当时我提到，福利或收入分布在某些特定条件下趋向于服从标度定律。立即有人问我，出现这样一种情况是否是件好事。我记得当时我耸了耸肩膀。毕竟，决定福利或收入不平均程度的分布坡度，取决于定律中出现什么样的幂。图8…1 幂定律（这里是原季普夫定律）的标度性
季普夫定律的基本机制至今还不清楚，许多其他幂定律也一样。在研究这些定律（特别是它们与分形的联系）方面作出过重要贡献的曼德布罗很坦白地承认，如果说他在科学生涯的早期取得了成功，那么，部分原因就在于他将重点放在探寻与描述幂定律上，而不是试图解释它们。（他在《自然界的分形几何》（TheFractal Geometry ofNature）一书中，曾提到“喜欢强调结果而非原因”。）不过他立即又指出，在某些领域，特别是物理学中，已经提出了相当具有说服力的解释。例如，非线性动力学中的混沌现象就与分形和幂定律有着密切的联系，不过其联系方式科学家们尚未完全弄清楚。曼德布罗也时常建构一些符合幂定律的模型。例如，他计算了由著名的猴子打出的文章中，单词的出现频率。它们服从修正后的季普夫定律，其幂随着打出符号的越来越多而趋近于1（对应于原季普夫定律的幂值）。（顺便提一句，他也注意到，在用正常语言写出的文章中，当单词的出现频率符合修正后的季普夫定律时，其幂可能远不等于1，偏差量的大小取决于所讨论的文章中词汇量的大小。）标度不变性
最近几年，在解释某些幂定律方面取得了很大的进展。这些努力之一涉及到被称作“自组织临界态”（self…organizedcriti…cality）的问题。这一概念是由丹麦理论物理学家佩尔·贝克（Per Bak）和唐超（Chao Tang）与库特·维森菲尔德（KurtWiesenfeld）一起提出来的。最初他们将这个概念应用到沙漠或沙滩上常见的沙堆上，那些沙堆大致成圆锥形，每堆都具有清晰的斜坡。这是如何形成的呢？假定风不断将沙粒吹到沙堆上（或者物理学家用容器不断往试验沙堆上滴加沙粒）。随着沙堆的增大，其斜面变得越来越陡，但这种变化关系只发生在坡度达到一个临界值之前。一旦坡度达到那个临界值，继续添加的沙粒开始使沙堆崩落，从而降低其高度。
如果沙堆坡度大于临界值，那么将会出现一种不稳定的情况，这时沙堆的崩落迅速地使坡度不断减小，直到它回到临界值为止。这样，沙堆自然而然地被“吸引”到坡度的临界值，而勿需任何特殊的外部调节（所以称为“自组织”临界态）。
崩落量通常用参与崩落的沙粒数来衡量。观察表明，当沙堆的坡度接近其临界值时，崩落量相当精确地服从幂定律。
在这个情况中，附加到季普夫定律的幂上的常数很大。换句话说，如果按从大到小的顺序给崩落量排名，那么参与崩落的沙粒数将随名次的增大而急剧减少。沙堆中崩落的分布是一个无论从理论上，还是实验上都被成功地研究过的一个幂定律的例子。由贝克和他的同事所做的崩落过程的数值模拟，不但重现了该定律，而且还得出大指数（幂）的一个近似值。尽管随着名次的增加，崩落量急剧下降，但在一定程度上，几乎各种标度的崩落量都存在。一般来说，服从幂定律的分布是一个“标度不变”的分布。这就是幂定律也被称为“标度定律”的原因。那么一个分布律具有标度不变性究竟意味着什么呢？
幂定律的标度不变性可以通过原季普夫定律来很好地说明。拿城市人口来说，根据季普夫定律，各城市的人口数成1/1∶1/2∶1/3∶1/4∶1/5？？的比例。为简单起见，将人口数取成100 万，1002万，1003万，等等。让我们用一个固定不变的分数，不妨设为1/2，去乘那些人口数字；那么新的以百万计的人口数就变成了1/2，1/4，1/6，1/8，1/10？？它们恰好是原来处于第2，4，6，8，10，？？位的原有人口数。因此，以2 除所有的人口数相当于以2 乘城市的名次，使它们从1，2，3，4，？？变成2，4，6，8？？。如图8…1 所示，将新名次与原来名次的关系在图上画出来，将得到一条直线。
这种直线关系可作为标度定律（其中涉及到的量可以为任何类型）的定义：所有各个量换算为任意常数倍（在上述例子中为1/2 倍）相当于给原来的那组量编新的名次，使新名次与原名次成直线关系。（新的名次并不总是整数，但在每种情况下，规模大小与名次之间的关系式都将给出一条简单的光滑曲线，这条曲线可用作整数之间的插值线。）
在沙堆崩落的情况中，因为崩落量的分布服从幂定律，所以用任一公因数去换算所有崩落量，相当于对原来的崩落序列的名次进行一个简单的重编。很显然，在这样一个定律中不存在任何特殊的标度，但在被研究量取值范围的两端除外，因为那里存在明显的限制。任何崩落中的粒子数都不会少于一个；显然，幂定律在单粒子的标度上必然不适用。在取值范围的另一端，任何崩落中的粒子数都不会大于所讨论的沙堆中的总粒子数。但是至少最大的崩落可以轻易地挑拣出来，并被冠以第一名。
琢磨这最大的崩落，不禁使人想起自然事件规模的幂定律分布中一个常有特征。名次极靠前的那些最大或最具毁灭性的事件，即使其或多或少处在幂定律所规定的曲线上，也仍然可能被当作具有大量显著后果的单个历史事件，而名次很靠后的那些小事件，人们通常只是从统计角度来考虑。里氏8。5 级左右的巨大地震都被记载在耸人听闻的报纸标题与历史书上（特别是当震灾波及到大城市时）。而众多关于里氏1。5 级左右地震的记录只是默默无闻地居于地震专家的数据库中，主要供统计研究使用。然而地震中的能量释放确实遵循幂定律，这是很早以前被两位现已故去的加州理工学院的教授，查尔斯·里克特（CharlesRichter）和他的顾问比诺·古腾伯格（Beno Gutenberg）所发现的。（在1933 年的一天，古腾伯格和爱因斯坦两人正专心地讨论地震学的问题，以至于他们谁也没有注意到由