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些人中的一个。完整的表示首先由诺尔曼·派卡德（Norman Packard）在一篇论文的题目中使用，这篇论文用一个非常简单的、以计算机为基础的学习系统来探讨这样一种临界状态。现在这个术语已在通俗文学中广为使用。在大约相同的时期里，克里斯·兰顿（Chris Langton）也独自作出相关的研究。
在生态学和经济学领域里这种幂定律为人熟知，它们有一些显而易见的应用，特别是在支配资源分布方面。在市场经济中有名的工资分布经验定律，较高收入的部分就类似一个幂定律。它是19 世纪由意大利经济学家维尔弗瑞多·巴瑞脱（Vilfredo Pare… to）发现的，他还发现关于个人财产的幂定律，也是大致上适用于财富较多的人。
生态学家经常盯着资源的分配，把它当作一个自然群体中不同物种的函数，其中每一给定物种的个体集中起来作为一个整体来利用这些资源。他们在这里也发现了一个经验幂定律。例如，美国边界南部柯特斯海（Seaof Corte’s）的北端海岸的岩石地带，生长着许多不同的生物，如茗荷介和蛤贝，占据着岩石表面不同的面积。被不同种生物所占据的总面积遵循一个近似得非常好的幂定律。在食物链中较高级的其他动物则捕食这些岩石上的居住者。在这近于食物链顶端的动物中，有一种有22 个臂的星鱼。如果这种星鱼从图景中移走，会出现什么情形呢？由于某种灾害，这种情形在某些海岸段上可以实际发生，因此生态学家可以观察到上述设想的结果。结果是残留下来的生物系统将重新调整自己，岩石上将由不同物种的生物重新占据，所占面积与总面积之比也将为一新值替代。但是，近似的幂定律仍然有效。因此，互适应因素所形成的体系被一种资源按幂定律分布为特色的变迁方式所吸引。这种想法得到了某些经验的证实。以规则为基础的数学和以作用因素为基础的数学在今日许多有关复杂适应系统的研究中，数学起了非常重要的作用，但在大多数情形下，已不是曾在科学理论中占优势的传统数学。假定要研究的问题与一个涉及时间的系统有关，则系统在每一瞬间的状态将按照某种规则而变化。许多取得巨大成功的科学理论之所以能取得成功，都得益于连续统数学的帮助，在这种数学里时间变量是连续的，所以是描述系统状态的变量。状态不断地变化遵循一个用连续变量表示的规则，而这变量要能表征系统的特征。用数学语言说，系统的时间展开将由一个或一组微分方程来描述。在最近几个世纪里，基本物理学的许多进展都得益于这些微分方程的帮助，其中有麦克斯韦电磁理论方程组，爱因斯坦的广义相对论引力理论方程，以及量子力学的薛定谔方程等等。
当我们利用一个数字计算机来帮助解这些微分方程时，我们通常用一个所谓的离散变量逼近于连续时间变量，即把一些值分离成有限的间隔，以代替我们所研究的由开始到末了那段时间内的所有可能值。而且，那些可以表征系统状态的连续变量，也可以用离散量来近似表示。于是，微分方程由一个差分方程代替。当离散变量（包括时间）相邻值之间的间隔越来越小时，差分方程就越来越像被它所代替的微分方程，于是数字计算机就越来越接近解决原来的问题。
这种经常用来模拟复杂适应系统的数学，酷似在一台数字计算机上用来逼近连续微分方程的离散数学，但现在离散数学已不仅仅是一种近似，它已因自身的目的而被使用。还有，描述系统状态的变量可能只取少数几个值，并用这些不同值表示可供选择的事件。（例如，一种生物可能或不可能吃另一种生物；两种生物可能或不可能进行争斗，如果争斗，一个或另一个将会获胜；一位投资者可能买、握住不放或卖掉一种股的股份。）在描述一个物种的多少代或金融交易时，时间变量甚至可以迅速地经历几千个值，这决定于是什么类的问题。另外，在系统每个这些离散的瞬间，在很多问题中，由这样一种规则来决定，这种规则不仅仅依赖那时的系统状态而且也依赖一种偶然过程的结果。我们讨论的离散数学经常称为以规则为基础的数学（rule… basedmathematics）。对数字计算机来说，它是一种天生合乎需要的数学，并常常用来模拟由很多个体适应因素构成的复杂适应系统，其中每一种适应因素自身也是一个复杂适应系统。一般来说，这些代理——如在生态群体中的各种生物，在经济学中的个人和商店、企业、公司——都涉及描述其他因素行为和怎样影响这些行为图式。在这样的一些情形下，以规则为基础的数学变成了以作用因素为基础的数学（agent…based mathematics），例如在TIERRA 中就是如此。让经济学不再沉闷①
最近学者们利用以作用因素为基础的数学来指导经济学，使它趋近于一种更加进化式的探索。在过去的几十年中，经济学家曾经用一种带有理想平衡的偏见，描述了许多经济理论的特征。这种偏见是以完善的市场、理想的信息和作用因素的完全合理性为基础的，它完全不顾有些最优秀经济学家的努力，他们努力想把上述三种不完善性注入到第二次世界大战后的新经典综合中去。
在经济学家中有一个故事久为流传，故事说一个新经典的理论家和他的行为得体的小孙女，在一个美国大城市的街上行走，小姑娘把一张20美元的钞票放到人行道上，然后礼貌地问她爷爷，把钞票拾起来合适吗？爷爷回答说：“不行，亲爱的，除非真有某个人已经把它拾起来了。”在几年里，许多学者（包括圣菲研究所主持的一个多学科网络中的一些成员）把他们的研究转向经济学，把经济学看成是一些由适应经济因素组成的复杂适应系统，这些因素只具有有限制的合理性和不完善的信息，并在机遇和感知经济自身利益的基础上发生作用。此后平衡理论非常成功地预言了近似于真实的情形，特别是那些在预言附近的涨落与真实情形符合得相当好；但最近一些研究与这些预言有些出入。
有一个非常简单的模型，它是由亚瑟（W。Brian Arthur）、约翰·霍兰德和里查德·巴尔末（Richard Palmer，杜克大学和圣菲研究所的一位物理学家）提出的。在这个模型里，单一债券（如一种股票）的投资者被看成是适应因素，他通过一种中央清洗室（central clearinghouse）与其他人发生相互作用。每一股一年付息，这个息可能以不同方式随时间而变化。运转中的年利率是不变的，股息与利率之比要决定于每一股份的基本值。每一股的实际价格可以大大地不同于基本值。在股票价格的历史基础上，每一种因素不断构造出一些基本图式，这个图式告诉他或她什么时候买进、卖出或坚守不动。在任何时候，不同的作用因素可能采用不同的图式。更有甚者，一个给定的因素可能同时拥有几个图式，并根据具体情形不时地掉换图式。在这种情形下就会引起价格的涨落，而且经常是狂涨暴落，再加之基本价值的缓慢改变，于是价格与时间的曲线是一个锯齿状的逐渐降低的曲线。这样的狂涨暴落，以及真实市场运转的回忆，使我们找到一种进化模式，这模式中的诸种因素远谈不上完善，但试图努力学习完善。
在改革经济的运动中，许多参加者已经证实完全的合理性不仅与人类实际事务有明显矛盾，而且也与市场出现任何涨落的情形相矛盾。许多心理学家、经济学家，甚至人类学家在处理人类的各种问题时，有一种把它们完全或近似合理化的趋势。对此，我常常感到惊讶不止。我个人的经验是，无论在进行思考或观察其他事物时，合理性仅仅是控制人类行为的许多因素之一，但决不总是主要的因素。假定人的行为总是合理，这可以比① 在英美等国将政治经济学称为沉闷的科学（the dismal science），所以这儿Mak…ing Economics less Dismal有双关之意——译者注较容易地建造一个人类如何行动的理论，但这样一个理论经常极不现实。哎呀，这正是今天社会科学和行为科学经常犯的主要毛病。当这种毛病进入复杂现象的理论时，使理论更加便于分析固然会带来方便，但对于更好地描述现象来说却并不需要如此，有时还很容易使事情变得更糟。
经济理论在了解人类事务方面的伟大贡献，在我看来，就是一再强调刺激、鼓励。在任何情况下，对不同的作用过程的刺激到底是什么？当第一次发现死海古代文书手卷时，考古学家希望发现更多的手卷残片，于是把注意力转向流浪的阿拉伯牧人。这些误入歧途的学者们对每一块残片提供固定的报酬，结果牧人们在把残简送给学者们之前，先把它扯破成一块块残片。经济学家们常常用一种令人迷惑的方式研究刺激如何影响整个社会运作，他们指出各种不同图式的缺点，指出政府或商业中的缺点，这些缺点就十分类似死海古代文书手卷使用的报酬方式。刺激为经济学提供了选择压力，即使当刺激的反响并不充分合理时，甚至如果有其他压力在起作用时，经济的刺激仍然可以帮助经济学家确定哪种经济行为的图式将占优势。人类的创造力总可以找到一些办法从已有的刺激中获益，正如生物进化总是可以最终填满空着的生态学的小生境（ecological niche）。用一种进化的方法研究经济学和承认人类（行为的）有限制的合理性，仅仅只能够改善经济学家对刺激运作方式的深入理解。圣菲研究所最成功的活动之一是它的一些研究人员提出的经济计划，这个计划利用了对新理论的模拟并制作了高质量的模型。当然啦，最终的成功还有待于证实，像所有理论科学一样，要用对现有资料的解释、为未来观测所证实的正确�