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利用这些数据，从二项式表中得出的期望结果应是：
#成功 期望频率
0 0。082
1 0。318
2 0。416
3 0。184
1。000
令人惊奇的是，二项式的分布和 AT&T 的实际情况相当接
近。在已知假设的成功概率（p）后，每一季度内赚钱月份的
情况就可以从二项式表中得到。因此，二项式分布对负责投
资组合的基金管理者、公司负责销售的董事和研究人员分析
项目概率、确有实用价值。
正态分布：钟型曲线之迷
正态分布（Normal distribution） 是应用最普遍的理论，通常称为钟型曲线（Bell curve）。哈佛大学用钟型曲
线确定学生考试成绩。曲线表明 15％的学生考试刚刚擦边及
格。 达顿商学院的教授们凭借自己的判断给出不太满意的C （极
格）和 F（不及格）。结果两所学校校园的竞争风气截然不同。
不同标准偏差曲线的概率密度分布函数
当概率群分布函数是基于多次试验基础之上时，曲线就
趋向于类似钟型的形状，我们称之为概率密度分布函数。描
述西雅图降雨分布的两张图即是这种情况。中间的凸起部分
是由于“中间集中理论”（Central Limit Theorem）作用引起
的。它说明“独立事件重复发生的概率的平均分布呈一种钟
型形状的正态分布”。为什么？简单说，就是因为大量独立
事件的趋势是向中间平均值临近。
“平均事件”这一概念相当含糊。在用应用举例中其定
义延伸到可包括任何一大组的数据。为什么？因为正态分布
易于使用，且和实际生活中的情况又极其相似。市场变化不
定造成股票价格浮动，最终导致或盈或亏的回报结果。回报
可以被认为是市场变化的“平均”值。正如任何事情都可以
用具有平均性来解释一样，正态分布的实用性亦如此。
正态曲线的测量
钟型曲线可用两个名词来描述，即中项（Mean）和标准偏
差（Standard deviation； SD）。中项（μ）是曲线的中心部分，
通常称这个中项为平均值。平均值是用数据加在一起之总和
除以数据点。标准偏差（σ）是衡量偏离平均值的宽窄程度。
在概率概念中，这两个名词是非常重要的。
其中用的较少的衡量一组数据平均值的方法还有“中值”
（Median），即按数字大小排列后的中间项数值，和“众数值”
（Mode）； 即一组数据中出现频率最高的数。
和二项式分布一样，曲线下代表所有出现结果的可能之
和为 100％。正态分布曲线特别的地方在于，对于任何已知的
偏离中项、中心的标准偏差，尽管正态分布的形状不同，但
事件的概率相同。
零售业正态分布举例
鞋店老板 Al Bundy 先生想要知道店里的库存能否满足顾客对不同尺寸鞋子的需求。他从鞋业研究中心买了一份女鞋
尺寸调研报告，并通过问卷调查收回了大量数据。
他将收集到的数据画在坐标图上，得到的形状像是一正
态分布。另外，他将鞋的不同尺寸也输入计算器，得到标准
偏差数值是“2”。他还分析了所收到的问卷中的鞋子尺寸平
均值，得到的号码是“7”。再看亲手绘制的图表，确实是个
令人可信的正态分布。
对正态分布图，Al Bundy 先生可以用上分析正态分布曲
线的原理。此原理适用于所有正态分布曲线线下区域：
ISD=0。3413
2SD=0。4772
3SD=0。49865
4SD=0。4999683
依据这一原理，若 Bundy先生库存鞋的号码在5—9之间，
就包括了人群穿鞋号码的68。26％（2×
鞋子尺寸正态分布
0。3413）。库存的号码如果在3—11 之间，就包括了 95。44％。
如果库存的鞋从 1—13 号都有，那么，光顾他商店的 99。73％
顾客就都会满意。对那些低于 1 或高于 13 的特号鞋，他总是
可以随时从别处定得到的。
当然，学有用于确定曲线上任一特殊点处的概率（中项
以外的非整数标准偏差）正态分布表。用此表之前，必须先
算出（Z value），即：
正态分布曲线财务举例
让我们把刚学到的概率论的原理应用到金融上。以每月
回报率波动的先锋航空公司（Pioneer Aviation）股票为例，
假设成正态分布形状。对该股票以往的回报统计表明，平均
值为 1％，标准偏差为 11％。Gerald Rasmussen 先生想知道下
个月股票的回报率低于13％概率是多少。
Z =
（13 …1）
11
= 1。09（离平均值的标准偏差）
概率密度分布函数
先锋航空公司每月股票回报率平均值
每月股票回报率
用新计算出的Z值概念可以计算出：
从附录中的提供的正态分布表可以查到：1。09 标准偏差
=0。3621。和所有正态分布图一样，图中左半部分的概率是
50％。在所有的正态分布中，超过或低于中项的概率是 50％。
根据这些条件，我计算出，该股票回报率低于 13％的概率是
86。21％（即，36。21％＋50％），超过 13％的概率是 13。79％（即，
1…86。21％）。这就是用概率理论解决金融上实际问题的具体
例子。
如果不太过分强调理论，概率统计实际并不难。此外，
还有一些其它类型的分布，但商业上用的较少。泊松分布
（Poisson Distribution），和正态分布类似，但图形右侧
尾部展开。但多数分布都被假设是正态分布，以利用正态分
布标准偏差的原理分析问题。
累计分布函数
累计分布函数 （ Cumulative distribution
function；CDF）是对概率分布的累计观察。它分析诸如钟型
曲线等概率集合分布函数，了解“结果出现小于或等于该值
时的概率是多少？”从普通的正态分布曲线，能知道某一已
知结果出现的概率是多少，而累计分布函数能告诉我们一组
已知的价值范围内出现的概率有多大。累计分布函数还可以
用来把我们掌握的概率理论和决策工具（决策树）结合起来。
累计分布函数研究在许多数量价值不确定下所可能出现的结
果的范围。
仍以前文提出的钻井项目为例，分析一下如果地下有油，
其油量价值分布的情况。油量价值 概率集合分布函数 累计分布函数
累计概率
小于或等于
50000 0。005 0。005
75000 0。01 0。015（0。005＋0。01）
150；000 0。03 0。045（0。03＋0。01＋0。005）
200；000 0。08 0。125
300；000 0。12 0。245
750；000 0。15 0。395
1；100；000 0。21 0。605
1；200；000 0。15 0。755
1；400；000 0。12 0。875
1；700；00 0。08 0。955
2；000；000 0。03 0。985
2；500；000 0。01 0。995
6；000；000 0。005
1。00
1。00
概率密度分布函数
先锋航空公司每月股票回报率
平均值
每月股票回报率
在前文的树型图举例中，我们曾假设该项目的收益是
1；000；000 美元。为方便起见，我们取该值为采到油的期望值
（EMV）。实际上该项目出油的结果分布范围较广。从表中可
以看出，出现收益为 6；000；000 美元的概率是 0。5％，出现收
益为50；000 美元的概率也是 0。5％。如果用发生每一概率的金
额乘以其第二列中对应的概率，得出的期望值就等于我们前
面用到过的期望值1；000；000美元。
当决策者不知从何开始着手分析时，用建立累计分布函
数的方法便可使他们得出平均值或期望值。画累计分布函数
是一种有效方法，可将一系列你对未知事件可能出现的高、
中低结果概率的判断结合起来，以得到供决策用的期望值。
一组可能结果的累计密度分布函数图就像一个大的“S”。
在累计密度分布函数中，你一眼就可以看出所有可能的结果，而不仅仅是统计中的几个独立的点。如下图所示，Sam
Houston先生认为，出现的结果可能在0 到6；000；000 美元的
连续区域内。
累计分布函数中的从 0 到 1。0 的概率区域可用中值方法
（Bracket median technique）将之分成“区间”。上图中
的累计分布函数就是用这种方法分为 5 个区间的。例如，你
可将之分成 0。1，0。3，0。5，0。7，0。9 的区间。每个区间分
别代表的便是 0 到 0。2，0。2 到 0。4，0。4 到 0。6，0。6 到 0。8
以及0。8到1。0的“价值区域”的平均值。
概率是 0。5 的区间即是中数，这是因为左右两边各代表
价值的一兰。但这个中数并不一定非是前面正态分布中提到
的平均值。中值仅仅是价值区域的中心，而平均值则是用价
值和发生的对应概率相乘后得到的积，例如在前面采油的举
例中，我们用平均值的方法计算出出油的期望值是 1；000；000
美元。
累计密度分布函数
出油可能结果价值（单位：千美元）
油的价值
为把累计密度分布函数应用到决策树中，以便用出重要
的管理决策，请你考虑一下如何将油井可能产生的价值全部
表示出来。其概率结果应成一“扇形”，代表着“一组”价
值。你也许不可能在树上画出无限根分枝来，所以，让我们
借助于累计密度分布函数的方法来解决问题。
画出累计密度分布函数
要画出如上的累计密度分布函数图，你不仅要使用自己
的研究数据，还要独立进行分析判断。你要对自己提出如下
的一系列问题：
发生的概率或高于或低于50％（中值）时的价值是多少？
发生的概率在较低的区域（10％区间）的价值是多少？
发生的概率在较高的区域（90％区间）的价值是多少？
钻井决策树
使用累计分布函数
EMV=。9＇（。2×130 美元）＋（。2×750 美元）＋（。2×870
美元）＋（。2×1150美元）＋（。2×2100美元）＇根据上述问题的答案，你就可以将自己认为的全部结果
画成累计分布函数图。从累计分布函数中的 5 个区间内，挑
选出 5 个结果，你就可以在决策树上画出树枝似的 5 种可能
结果的扇形概率（Even fan）。
此处的期望财务值和前面第一次提到时的数值是一样
的。我第一次选此值的原因，完�