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＇3＇也谈离散数学
每个学校本系里都会开一门离散数学，涉及集合论，图论，和抽象代数，数理逻辑。不过，这么多内容挤在离散数学一门课里，是否时间太紧了点？另外，计算机系学生不懂组合和数论，也是巨大的缺陷。要做理论，不懂组合或者数论吃亏可就太大了。从理想的状态来看，最好分开六门课：集合，逻辑；图论，组合，代数，数论。这个当然不现实，因为没那么多课时。也许将来可以开三门课：集合与逻辑，图论与组合，代数与数论。（这方面我们学校已经着手开始做了）不管课怎么开，学生总一样要学。下面分别谈谈上面的三组内容。
古典集合论，北师大出过一本《基础集合论》不错。
数理逻辑，中科院软件所陆钟万教授的《面向计算机科学的数理逻辑》就不错。现在可以找到陆钟万教授的讲课录像，cas。ac/html/Dir/2001/11/06/3391。htm自己去看看吧。总的来说，学集合/逻辑起手不难，普通高中生都能看懂。但越往后越感觉深不可测。
学完以上各书之后，如果你还有精力兴趣进一步深究，那么可以试一下GTM系列中的《Introduction to Axiomatic Set Theory》和《A Course of Mathematical Logic》。这两本都有世界图书出版社的引进版。你如果能搞定这两本，可以说在逻辑方面真正入了门，也就不用再浪费时间听我瞎侃了。
据说全中国最多只有三十个人懂图论。此言不虚。图论这门科学，技巧性太强，几乎每个问题都有一个独特的方法，让人头痛。不过这也正是它魅力所在：只要你有创造性，它就能给你成就感。我的导师说，图论里面随便找一块东西就可以写篇论文。大家可以体会里面内容之深广了吧！国内的图论书中，王树禾老师的〃图论及其算法〃非常成功（顺便推荐大家王先生的〃数学思想史〃，个人认为了解科学史会对我们的学习和研究起到很大的推动作用）。一方面，其内容在国内教材里算非常全面的。另一方面，其对算法的强调非常适合计算机系（本来就是科大计算机系教材）。有了这本书为主，再参考几本翻译的，如Bondy & Murty的《图论及其应用》，人民邮电出版社翻译的《图论和电路网络》等等，就马马虎虎，对本科生绝对足够了。再进一步，世界图书引进有GTM系列的〃Modern Graph Theory〃。此书确实经典！国内好象还有一家出版了个翻译版。不过，学到这个层次，还是读原版好（说实话，主要是亲身体验翻译版的弊端，这个大家自己体会）。搞定这本书，也标志着图论入了门。
离散数学方面我们北京工业大学实验学院有个世界级的专家，叫邵学才，复旦大学概率论毕业的，教过高等数学，线性代数，概率论，最后转向离散数学，出版著作无数，论文集新加坡有一本，堪称经典，大家想学离散数学的真谛不妨找来看看。这老师的课我专门去听过，极为经典。不过你要从他的不经意的话中去挖掘精髓。在同他的交谈当中我又深刻地发现一个问题，虽说邵先生写书无数，但依他自己的说法每本都差不多，我实在觉得诧异，他说主要是有大纲的限制，不便多写。这就难怪了，很少听说国外写书还要依据个什么大纲（就算有，内容也宽泛的多），不敢越雷池半步，这样不是看谁的都一样了。外版的书好就好在这里，最新的科技成果里面都有论述，别的先不说，至少？quot；紧跟时代的理论知识〃。
原先离散数学和数据结构归在一起成为离散数学结构，后来由于数据结构的内容比较多，分出来了，不过最近国外好像有些大学又把它们合并到了一起，道理当然不用说，可能还是考虑到交叉的部分比较多。比较经典的书我看过得应算是《Discrete Mathematical Structures》了，清华大学出版社有个影印版的。
＇4＇续谈其他的一些计算数学
组合数学我看的第一本好像是北大捐给我们学院的，一本外版书。感觉没有太适合的国产书。还是读Graham和Knuth等人合著的经典〃具体数学〃吧，西安电子科技大学出版社有翻译版。
《组合数学》，《空间解析几何》还有那本《拓扑学》，看这三本书的时候是极其费事的，原因有几点，首先是这三本书无一例外，都是用繁体字写的，第二就是书真得实在是太脏了，我在图书馆的座位上看，同学们都离我做得很远。我十分不自然，不愿意影响同学，但是学校不让向外借这种书（呵呵，说起这是也挺有意思，别人都不看这种书，只有我在看，老师就特别的关注我，后来我和他讲了这些书的价值，他居然把他们当作是震馆之宝，老师都不许借，不过后来他们看我真得很喜欢看，就把书借给了我，当然用的是馆长的名义借出去的。）不过收获是非常大的，再后来学习计算机理论时里面的很多东西都是常会用到的。当然如果你没看过这些书绝对理解不到那个层次。拿拓扑学来说，我们学校似乎是美开设这门课程，但是这门课程的重要性是显而易见的，没有想到的是在那本书的很多页中都夹着一些读书笔记，而那个笔记的作者及有些造诣，有些想法可以用到现代网络设计当中。
抽象代数，国内经典为莫宗坚先生的《代数学》。此书听说是北大数学系教材，深得好评。然而对本科生来说，此书未免太深。可以先学习一些其它的教材，然后再回头来看〃代数学〃。国际上的经典可就多了，GTM系列里就有一大堆。推荐一本谈不上经典，但却最简单的，最容易学的：math。miami。edu/~ec/book/这本〃Introduction to Linear and Abstract Algebra〃非常通俗易懂，而且把抽象代数和线性代数结合起来，对初学者来说非常理想，我校比较牛的同学都有收藏。
数论方面，国内有经典而且以困难著称摹冻醯仁 邸？（潘氏兄弟著，北大版）。再追溯一点，还有更加经典（可以算世界级）并且更加困难的〃数论导引〃（华罗庚先生的名著，科学版，九章书店重印，繁体的看起来可能比较困难）。把基础的几章搞定一个大概，对本科生来讲足够了。但这只是初等数论。本科毕业后要学计算数论，你必须看英文的书，如Bach的〃Introduction to Algorithmic Number Theory〃。
计算机科学理论的根本，在于算法。现在很多系里给本科生开设算法设计与分析，确实非常正确。环顾西方世界，大约没有一个三流以上计算机系不把算法作为必修的。算法教材目前公认以Corman等著的《Introduction to Algorithms》为最优。对入门而言，这一本已经足够，不需要再参考其它书。 深一点的就是大家作为常识都知道的TAOCP了。即是《The Art of puter Programming》3册内容全世界都能看下来的本身就不多，Gates曾经说过〃若是你能把这书上面的东西都看懂，请把你的简历发给我一份〃我的学长司徒彦南兄就曾千里迢迢从美国托人买这书回来，别的先不说，可见这书的在我们计算机科学与技术系中的分量。
再说说形式语言与自动机。我看过北邮的教材，应该说写的还清楚。有一本通俗易懂的好书，MIT的sipser的 《introduction to theory of putation》。但是，有一点要强调：形式语言和自动机的作用主要在作为计算模型，而不是用来做编译。事实上，编译前端已经是死领域，没有任何open problems，北科大的班晓娟博士也曾经说过，编译的技术已相当成熟。如果为了这个，我们完全没必要去学形式语言用用yacc什么的就完了。北邮的那本在国内还算比较好，但是在深度上，在跟可计算性的联系上都有较大的局限，现代感也不足。所以建议有兴趣的同学去读英文书，不过国内似乎没引进这方面的教材。可以去互动出版网上看一看。入门以后，把形式语言与自动机中定义的模型，和数理逻辑中用递归函数定义的模型比较一番，可以说非常有趣。现在才知道，什么叫〃宫室之美，百官之富〃！
计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。但不管怎么样，这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpinning of puter science（计算机科学的数学基础），也就是理论计算机科学。原来在东方大学城图书馆中曾经看过一本七十年代的译本（书皮都没了，可我就爱关注这种书），大概就叫《计算机数学》。那本书若是放在当时来讲决是一本好书，但现在看来，涵盖的范围还