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但是，不久怀特海和罗素的《原理》就受到严厉的批评，大约四十年前情况依然如下所述。可区分三个思想派系。首先，有由伯特兰·罗素，在维也纳由汉斯·哈恩和鲁道夫·卡尔纳普「Rudolf Carnap」所领导的称作逻辑主义的学派，主张数学可归结为逻辑学。其次，有公理学的学派，后来也称作形式主义，它不是从逻辑学演绎出集合论，而是希望把它们作为公理的形式系统来使用，类似于欧几里得几何学。持这种观点的人包括希尔伯特［Hilbert」，策梅洛［Zermelo」、弗伦克尔［Fraenkel］、贝尔奈斯［Bernays］、阿克曼［Ackermand」、根岑［Gentzen」和冯·诺伊曼「von Neumann」。第三个学派是所谓直觉主义者的学派，彭加勒［Poincare」、布劳威尔［Brouwer」、后来还有赫尔曼·魏尔［Hermann Weyl］和海廷［Heyting］属于这个学派。
这是极有趣的情景，但起初却似乎没有希望。在卷入辩论的两位最伟大、最多产的数学家希尔伯特和布劳威尔之间显现出带有个人色彩的敌意。许多数学家不仅认为关于数学基本原则的辩论是毫无成效的，而且全盘摒弃了基本方案。
后来，在四十四年前，奥地利数学家库特·哥德尔［KurtCoedel」加入了这场辩论。哥德尔曾就读于维也纳，在维也纳，逻辑主义得到强有力的支持，但另外两场运动也得到非常认真的看待，哥德尔的第一个主要结果，对有限函数演算的完全性的证明，是基于希尔伯特所系统阐述的问题，也许能够归功于形式主义。他的第二个结果是确定《数学原理》和数论的不完全性的杰出的证明。三个相竞争的思想派系都试图把这个结果归功于自己。
但是实际上这是终结的开端——即这三个思想派系的终结。在我看来，它也预告了新的、数理哲学的开端。当时情况变动不居，但也许可以这样概括：
罗素的化归理论，即数学可以归结为逻辑学的理论，即将被摒弃。数学不能完全归结为逻辑学；实际上，它甚至导致了对逻辑学的相当大的改善，可以说，导致了对逻辑学的批评性纠正：导致对我们的逻辑直觉的批评性纠正，导致一种批评性见识，即我们的逻辑直觉并不那样可靠。从另一方面说，它也表明直觉是非常重要的，能够导致理论的发展。创造性思想大都通过直觉而出现；不是这样出现的那些创造性思想是对直觉的观念的批评性反驳的结果。
似乎没有数学基本原理的一个体系，而是有构建数学的不同方法或数学的不同分支。我说“构建”而不是“确立”，是由于似乎没有对其基本原理的最终确立或保证。此外，只是就弱体系而言我们能够证明我们的建构的一致性。我们从塔尔斯基［Tarski］那里得知数学的重要分支在根本上是不完全的，也就是说，这些体系可以被加强，但永远达不到可以在这些体系之内证明所有正确的和相关的陈述的程度。大部分数学理论像物理学或生物学理论一样，是假说演绎的：因此，纯数学原来比甚至在最近看来那样更为接近自然科学，而自然科学的假说是猜想。
哥德尔和科恩［Cohen］也成功地提供了证明，证明所谓连续统假说用迄今使用的集合论方法既不能反驳也不能证明。人们表明，康托尔和希尔伯特希望有一天加以证明的这个著名假说与流行的理论无关。当然，有可能由这个假说成为可论证的来加强这个理论（通过使用另外一些假说）；但是同样由这个假说可被反驳来加强这个理论。
我们现在提出一个有趣的例子，表明数学可以如何纠正我们未纠正的或天真的或“自然的”的逻辑直觉。德语、英语、希腊语和许多其他欧洲语言证明，按照我们的自然逻辑直觉，“不可否认”一词，也许更明显的是“无可反驳”一词，和“无可反驳的正确”或“十分确定的正确”有相同的确切意义。如果此外一个陈述的无可反驳性得到了实际的证明（如在哥德尔对连续统假说的无可反驳性的证明中那样），那么按照我们的自然逻辑直觉，由于陈述本身已被证明是不可反驳的，它就被证明是正确的。
证明了连续统假说的无可反驳性的哥德尔同时也怀疑这个无可反驳的命题也是不可证明的：因此在这个体系中它既不能被反驳又不能被证明，它是独立的。这个事实纠正了这个论点，并表明它是天真的。他的怀疑很快就被保罗·科恩所证实。
我在这里简短地提到的哥德尔、塔尔斯基和科恩的开拓性研究都涉及到集合论，涉及康托尔的实无限的宏伟理论。这个理论又主要受到为分析即为微积分演算创造基础的问题的启发，而微积分演算，尤其在最初形式中，使用了无穷小的概念。无穷小的概念已被莱布尼兹［Leibniz」和其他潜无限的理论家看作有益但有问题的概念；它被伟大的康托尔，被他的信徒们，甚至被他的批评者们看作不正确而予以摒弃：实无限局限于无穷大。因此，1961年，一位“第二康托尔”（这个词是由A。弗伦克尔所使用的）登上舞台，他略述了实无穷小的严格的理论，1966年，他十分详细地扩充了这个理论，这是极其有趣的。不幸的是，这个理论的创造者亚伯拉罕·鲁宾逊［AbrahamRobinson］最近在美国去世。
当然，我关于数理逻辑与数学的最近的成就的谈论是非常粗略的。但我试图指出在这个无限广阔的无限领域中一些最有趣的发展；它们是完全基于对问题的批评性处理的发展。尤其哥德尔、塔尔斯基和鲁宾逊是批评家。哥德尔的著作相当于对四十年前所有主要思想派系的批评；对逻辑主义、形式主义和直觉主义的批评。他的著作也构成了对实证主义的批评，在哥德尔是其中一员的维也纳学派中强有力地提出了这个批评。哥德尔的批评基于他的数学直觉，基于数学想象力，这种想象力确实给他以指导，但他从未把它用作权威：它总是不得不经受使用理性的、批评－推论的方法的检验。
Ⅳ
现在我准备用几分钟的时间谈一下宇宙论，可以表明，它是所有科学中对于哲学最重要的科学。
在过去三十年中，宇宙论经历了难以置信的发展。甚至在那之前，牛顿仍称作世界体系的太阳系已成为局部现象。在爱因斯坦的理论和哈勃［Hubble」的估计星体距离的新方法的影响下，最初的现代宇宙论，由康德极出色地系统阐述的星系和银河系理论，在两次世界大战之间的时期内发展起来；哈勃的膨胀着的宇宙的理论似乎确立了。第二次世界大战后最初在英国和澳大利亚发展起来的射电天文学的结果起初似乎很适合这个框架。由邦迪「BOndi］、戈尔德「Gold」和霍伊尔［Hoyle］提出的一种膨胀着的宇宙的理论（在我看来，这是一种非常精细和有前途的理论）甚至是可用射电天文学方法检验的；它似乎遭到反驳，代之以（更古老的）大爆炸宇宙膨胀理论。但是哈勃常数被缩小到十分之一，最大的银河的膨胀被乘以150。射电天文学也对许多其他结果提出问题；似乎我们在宇宙论领域中面对这样一些完全革命性的结果，几乎和在政治领域中面对讲和的任务一样一筹莫展。似乎存在空前众多而稠密的类星体，我们以前关于平静地向四面八方消散的银河的观念也许很快会被关于稀少但不断再次发生的灾难的理论所取代。
无论如何，与所有的预期相反，射电天文学代表了宇宙论的历史中一个非常令人兴奋的、革命性的情节。这场革命可与伽利略的望远镜所引起的革命相比。
在此做一下概括性评论也许是适宜的。人们常常声称，科学发现的历史只（或主要）依赖于新仪器的纯技术发明。相比之下，我认为科学史实质上是思想史。在伽利略想到在天文望远镜中使用放大镜之前，放大镜已存在很长时间。
射电天文学也同样被延迟了。无线电波是海因里希·赫兹［Heinrich Hertz」于1888年发现的。但是，尽管维克托·赫斯「Victor Hess」于1912年发现了所谓宇宙射线，而它会激发人们留心从星体发射的新的辐射线，然而又过了二十年，射电天文学才开始出现，它所需要的仪器才开始发明。对这种延迟的可能的解释是，没有天文学家想到使用无线电波。当然，一旦确实产生这个想法，它（在它为生存而进行了某种斗争后）就导致了新的和革命性的发展。是新的思想启发了人们构建新的仪器；有些像巨大的人工感官的东西。
Ⅴ
无论如何，自从牛顿的时代以来，宇宙论就是物理学的一个分支，康德、马赫、爱因斯坦、埃丁顿＇Eddington＇和其他一些人继续这样看待它。尤其是爱因斯坦、埃丁顿、埃尔温·薛定谔［Erwin Schroedinger」和沃尔夫冈·泡利［WolfgangPauli〕（他和薛定谔一样，出生于维也纳），对于物质与原子结构和宇宙论间的联系进行了有趣的谈论。那是四十年前，自那以来，这些思想或多或少遭到摒弃，尽管一些伟大的物理学家，著名的有爱因斯坦、狄拉克〔Dirac〕、海森堡［Heisenberg］和科内利乌斯·兰佐斯「Cornelius Lanczos〕，继续致力于物理学理论的统一。
然而，由于关于明显缺乏太阳中微子流的意外的实验结果，最近人们又继续研究泡利关于中微子场与引力间的联系的假说。来自波茨坦的宇宙论学者和物理学家汉斯…于尔根·特雷德［Hans－Jurgen Treder］试图用泡利于1934年提出的一个假说由他的爱因斯坦广义相对论的变体得出这个反面的实验结果。人们希望，这也许开创了在物质理论和宇宙论间建立更密切联系的尝试的新阶段。无�