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（5）创立升位法或降位法，对某些特殊方程在解法上提供了方便。
（6）在某种意义上，对正整指数幂与负整指数幂的理解，与现今的理解比较相近。
（7）在所列方程的次数上，比唐初、王孝通时代有显著的增高。
（8）所列方程突破了秦九韶（公元1202～1261年）“实常为负”的限制。
（9）对于筹式的写法，给四元术提供了有利条件。
（10）在书末出现了文词代数式的初步尝试。
正是由于这些多方面的创新贡献，使得李冶《测圆海镜》彪炳史册。李冶本人也十分珍惜这部数学著作，他曾告诫家人：“吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾尝精思致力焉。后世必有知者，庶可布广垂永乎！”王德渊：《敬斋先生测圆海镜后序》，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第868页。
笔者以为，李冶的天元术不仅直接渊源于洞渊九容之说，而且从科学思想方法上分析，其“立天元一”的代数表达思想得益于道教三元并列的思维模式。
根据李冶《敬斋古今注》，也声称其本人在东平得一神秘《算经》：余至东平，得一《算经》，大概多明如积之术，以十九字志其上下层数曰：仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天；人；地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极，而以天、地各为元，而涉降之。李冶：《敬斋古今注》卷三，藕香零拾本。
东平在山东境内。李冶在东平得到的《算经》其独特的数学思想是以人表示常数项，居中；仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天表示未知数的9、8、7、6、……2、1次幂，居人之上；地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼表示未知数的－1、…2、－3、－4、……－8、－9次幂，居人之下。这里用仙、明、霄、汉等符号来表示天元，用人代表地元，用逝、
泉、暗、鬼等符号来代表地元的思想明显受到道教的影响，带有浓厚的道教色彩。
第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想从天元术看道教对传统数学思想的影响（2）
三元是道教的一个重要术语和思想概念。道教的三元思想渊源于周易的天、地、人三才说，《周易·说卦》云：“昔者圣人之作《易》也，将以顺性命之理。是以立天之道曰阴与阳，立地之道曰柔与刚，立人之道曰仁与义。兼三才而两之，故《易》六画而成卦。”道门人士将《周易》的三才引入道教，泛指三种相互关联且意义重点的事物，称三元。道教以三洞宗元为基本教义思想，道教的基本信仰和经教体系无不宗元于此，是道教的根本宗元。《云笈七》卷三《道教本始部·道教所起》认为：“寻道家经诰，起自三元，从本降迹，成于五德。”《云笈七》卷三，《道藏》第22册，第12页。“原夫道家由，肇起自无，先垂迹应感，生乎妙一，从乎妙一，分为三元，又从三元变成三气，又从三气变生三才，三才既滋，万物斯备。”《云笈七》卷三，《道藏》第22册，第13页。
道教以三洞（洞真、洞玄、洞神）为三元，三洞之元，本同道气，道气惟一，应用为三。因此，道教神仙理论以三元为三宝君，即天宝君、灵宝君、神宝君分别治于三清境，是为道教最高神灵三清尊神。当然，三元在道教典籍中还有多种指称和用法。有以日、月、星为三元者，《黄庭内景经》云：“上睹三元如连珠。”梁丘子注云：“三元，谓三光之元，日、月、星也。”《黄庭内景经注》卷中，《道藏》第6册，第526页。有以三丹田为三元者，例如《周易参同契》云：“含精养神，通德三元。”俞琰注：“三元，上中下之三田也。”俞琰：《周易参同契发挥》卷八，《道藏》第20册，第249页。
还有以身体器官头、心、肾为三元者，例如道书《洞真太上道君元丹上经》云：“故使阴阳之数，历备三元，头为天元，心为中元，肾为下元，并三万六千神主所治，名曰三元微妙，分别左右。”《洞真太上道君元丹上经》，《道藏》第3册，第619页。
有以精气神为三元者，例如《悟真篇》云：“黄牙白雪不难寻，达者须凭德行深。四象五行全仗土，三元八卦岂离壬。”三元，刘一明《直指》列为元精、元气、元神。也有不同的注释，陆西星《方壶外史》认为系“天元、地元、人元”。参见王沐《悟真篇浅注》，中华书局，1990，第20页。《道藏》中以三元为书名的道书有十余部，如《上清三元玉检三元布经》、《太上洞玄灵宝三元玉京玄都大献经》、《太上洞神三元妙本福寿真经》等等。其中元代李鹏飞的《三元延寿参赞书》，以道教三元之说为全书的论述总纲，“人之寿，天元六十，地元六十，人元六十，共一百八十岁，不知戒慎，则日加损焉。精气不固，则天元之寿减矣；谋为过当，则地元之寿减矣；饮食不节，则人元之寿减矣。”《三元延寿参赞书》自序，《道藏》第18册，第528页。因此，《三元延寿参赞书》卷一论天元之寿，卷二论地元之寿，卷三论人元之寿。此外，道教的节日还有上元节（正月十五）、中元节（七月十五）、下元节（十月十五）之分。虽然道书在三元的概念所指上不尽相同，但是从上述的引证中，我们可以清楚地看到，三元并列是道教构建其庞大教义理论的一个重要思维模式。这种三元并列的思维模式对传统数学代数式的写法和符号化曾起了积极作用。
总而言之，东平《算经》可以和“洞渊九容”互为印证，成为李冶天元术思想渊源于道教的另一个有力旁证。
李冶之后，天元术经二元术、三元术，到了元代朱世杰的《四元玉鉴》进一步发展为四元术，“其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”
莫若：《四元玉鉴前序》，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第1205页。，朱世杰分别将一元方程称为“一气混元”，二元方程为“两仪化元”，三元方程为“三才运元”，四次方程为“四象会元”，朱世杰汲取了“天元术”的思想方法，参照了线性方程组的用算筹摆出的“矩阵”运算方法，创造出以“天”、“地”、“人”、“物”表示四个不同的未知数的四元高次方程组的数值解法，成功地解决了四元高次方程组的建立和求解问题，达到了宋元数学的最高成就。
“天”、“地”、“人”三元与“物”并列，在道教典籍《阴符经》王明先生认为《阴符经》的作者是北朝一位久经世变的隐者。其成书年代上限为公元531年之后，下限为唐初。参见王明《道家和道教思想研究》，中国社会科学出版社，1984。有一个经典的表达：“天地，万物之盗；万物，人之盗；人，万物之盗。三盗既宜，三才既安。”
《黄帝阴符经》，《道藏》第1册，第821页。宋代理学家朱熹化名崆峒道士所著的《阴符经考异》释云：“天地生万物，而亦杀万物者也；万物生人，而亦杀人者也；人生万物，而亦杀万物者也。以其生而为杀者也，故返而言之，谓之盗。犹曰五贼（指五行，笔者注）云尔。然生杀各得其当，则三盗宜。三盗宜，则天地位，万物育矣。”朱熹：《阴符经考异》，《道藏》第 2册，第827页。
第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想从天元术看道教对传统数学思想的影响（3）
也就是说，天地人与万物之间存在着相互“盗取”互相依存的生态群落关系，强调要正确处理好天、地、人、万物之间的系统关系。虽然笔者尚未发现朱世杰以“天”、“地”、“人”、“物”表示四个不同的未知数的思想方法与道教关系的直接史料证据，但前文已论述了天元术的思想渊源于道教，那么作为天元术发展高峰的四元术，朱世杰的《四元玉鉴》天地人与物并列的“四象会元”方法极有可能也受到道教思想的影响。当然，这仅仅是笔者一种逻辑上的推演和猜测，对此尚须作进一步的史料考证工作。
天元术是一种半符号式的代数，“以不同的文字表示不同的未知数意味着开始向符号代数的转化，这包括了对数的抽象、对文字的抽象、对运算的抽象思维过程，表现了中国数学家高度的抽象思维能力。”王鸿钧、孙宏安：《中国古代数学思想方法》，江苏教育出版社，1988，第143页。是近代符号代数的雏形。天元术的出现和完善是中国古代数学思想发展的重要环节，而这一重要数学思想的源头活水乃是道教思想。
天元术是一种用数学文字符号列方程的方法。“立天元一”是其主要数学思想方法，这与今之代数学“设Ⅹ为某某”是等价的。中国古代数学列方程的数学思想可以远溯到汉代《九章算术》，书中就用文字叙述的方法建立了二次方程，但尚缺乏明确的未知数概念。唐代王孝通以高度的数学技巧成功地列出了三次方程，但还无法掌握列方程的一般方法，仍然需要借助语言文字来表述。郭金彬先生对中国传统计算思想的演变进行了研究，认为：“到了宋代，高次方程的发展使方程的造法越来越困难。但是，不找出某种普遍的列方程的方法是不行的。因为，众所周知，要运用方程求解实际问题，首先要根据问题所提供的条件列出方程，然后解方程求根，获得答案。‘天元术’就是在这种情况下产生出来的具有中国独特风格的一种普遍的列方程的方法”郭金彬：《中国传统科学思想史论》，知识出版社，1993，第43页。郭金彬先生所说的“中国�