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酢⒊ふ摺⒕邮课谏鹁峁┭└镎⒃捌浴⒚窕А⑴６俊⑻槁迹笸跬跸啻薷曳险撸两癫痪Ｕ庖欢挝淖忠斐Ｖ匾延《裙�400 年左右在笈多王朝月护二世（超日王）统治下的中国描绘得具体而生动。高善必根据这一段文字做了如下的分析。官吏们还没有得到封建权利和权力。中国以外的土地一定要缴纳租税的，一般是收获粮食的六分之一。大概是这个帝国中心地带受到的特别优惠，赋税比较少。在农村中一定有酿酒人和负贩。农民可以来去自由，表明没有农奴制。至于供给僧众田宅、园圃、民户、牛犊等东西，怎样解释？还是一个问题。外文翻译者各有各的理解。从标准的土地馈赠来判断，馈赠的只是收租权，而不是土地所有权（见上引书，页278—279）。
除了高善必以外，所有研究印度古代史特别是笈多王朝时代的历史的学者，不管是印度的，还是其他国家的，没有一个不引用《法显传》的。我再举一个例子。印度史学家Lalmani Joshi 的《印度佛教文化之研究》（Studiesin the Buddhistic Culture ofIndia ，Motilal Banarsidass ， Delhi ，Varanasi，patna，secondrevesed ed。1977）是一部非常优秀的书。著者在本书中许多地方都引用了《法显传》。比如，在页13 和页258 讲到弥勒崇拜和乌苌国的首都时，都引用此书关于陀历国的记载。在页298—299 讲到佛教在印度衰微时，引用此书关于摩头罗国的记载：“有遥捕那河，河边左右有二十僧伽蓝，可有三千僧，佛法转盛。”他又引用玄奘《大唐西域记》，卷四关于秣菟罗国的记载：“伽蓝二十余所，僧徒二千余人。”同一个地方，相隔几百年之后，伽蓝的数目没有变，僧人却减少了一千人，衰微的情况清晰可见。这样的例子，著者还举了一些。从上面几个简略的例子里可以看出，《法显传》对研究印度中世纪佛教，有多么重要的意义。
我还想再举两个例子。一个是印度当代著名的史学家R。S。Sharma 的《古代印度的首陀罗》（Sudras in Ancient India，Motilal Banarsidass，1958）这是一部颇为著名的书，得到印度国内外学者们的广泛赞誉。在本书第七章讲农民阶级与宗教权利时，著者在四处引用了《法显传》，都是上面高善必引用的那一段。页286，引用“不食葱蒜，唯除旃荼罗”，页290—291，引用“旃荼罗潜入城市，则击木自异，人则识而避之，不相唐突”。第二个例子是Bardwell L。 Smith Essays on Gupta Culture（《笈多文化论集》MotilalBanar…sidass，1983）。这是一部论文集，著者不是一个人，讨论的题目也不尽相同。其中有几篇文章引用了《法显传》。页7，A。L。Basham 在序言中讲到旃荼罗入城市击木自异的情况。页38，A。K。Narain 在《古代印度特别是笈多时期的宗教政策和宽容》这一篇论文中，引用了《法显传》来说明当时佛教兴隆的情况。页130、132、133 等，B。G。Gokhale 在《笈多时期的佛教》这一篇论文中，引用了《法显传》来说明月护王（376—414）时期的印度佛教状况，特别是佛教寺院中研究经、律、论的情形。
除了以上四本书以外，引用《法显传》的书籍还多得很，这里无法一一列举了。
我在上面先介绍了晋宋时期中国佛教发展的情况，然后介绍了法显的生平和他对中国和世界的影响。总起来可以这样说，法显活动的两晋南北朝时期是中国佛教发展和中印文化交流的高峰时期之一。他留下的佛典译文，特别是他的《法显传》，到现在仍然保留着自己的活力，起着相当大的影响。他对促进中印两国的文化交流和人民的传统友谊，也有不可磨灭的功绩。《法显传·跋》中有几句话：“于是感叹斯人，以为古今罕有。自大教东流，未有忘身求法如显之比。”法显是当之无愧的。中国人民永远不会忘掉他，印度人民也不会忘掉他。
第二十三章数学秦汉时期《九章算术》的出现，是中国古代数学体系初步形成的标志。
在此基础上，三国两晋南北朝时期的数学研究和数学教育又有了显著的发展。在这一时期撰写的数学书不下数十种，仅《隋书·经籍志》所载就有二十余种。其中如赵爽《周髀算经注》，刘徽《九章算术注》和《海岛算经》，《孙子算经》，《张丘建算经》，甄鸾《五曹算经》、《五经算术》和《数术记遗》等，都是重要的数学典籍，后被收入有名的“算经十书”而一直流传至今。南北朝时祖冲之所著《缀术》，是一部内容丰富的数学专著，可惜已经失传。这些数学著作记载了这一时期数学家在勾股算术、重差术、割圆术、圆周率、球体积公式、线性方程组解法、二次和三次方程解法、同余式和不定方程解法等方面所取得的新成果，充实和发展了以《九章算术》为代表的中国古代数学体系。特别应该提到的是，刘徽在魏陈留王景元四年（263）作《九章算术注》。他在注释中对于《九章算术》的大部分数学方法作出了相当严密的论证，对于一些概念给出了明确的解释，从而为中国古代数学奠定了坚实的理论基础。他所提出的许多新的思想、方法、原理和获得的新成果，对后世数学发展产生了积极的和深远的影响。祖冲之是刘徽以后又一位杰出的数学家。他的圆周率值，是举世公认的重大数学成就，在数学史上占有突出的地位。三国两晋南北朝时期形成了中国古代数学发展过程中继两汉之后的又一个高潮。
第一节勾股定理和重差术勾股定理是中国古代几何学中一个最基本的定理。在中国古代，勾股定理的一般形式a2＋b2=c2（a、b、c 表示直角三角形的三边），最早见于《周髀算经》。《九章算术》则进一步给出计算勾股数的一组公式：a b c m n mn m n ∶ ∶ ∶ ∶ = … ＋1 21 22 2 2 2 （ ） （ ）其中m∶n=（c＋a）∶b ，这是整数论的重要成果。但是，这两部书的共同缺欠是仅有公式而没有证明。据现有记载，首先对有关勾股问题给出证明的是三国时孙吴数学家赵爽。赵爽，字君卿，约生活于公元3 世纪初，生平不详。曾为《周髀算经》撰序作注，对于书中阐述的盖天学说和四分历法作了较详尽的注释。赵爽《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》，全文五百余字并附有六幅插图（原图已失传，现传本《周髀》中的图是后人所补）。这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成就，给出并证明了有关勾股形三边及其和、差关系的二十多个命题。他的证明主要依据几何图形面积的换算关系，例如利用弦图证明公式c2=2ab＋（b…a）2，利用面积换算证明由勾弦差（c…a）与股弦差（c…b）求勾、股、弦的公式等。刘徽在《九章算术注》中更明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理。这个原理的内容是几何图形经分合移补所拼凑成的新图形，其面积（或体积）不变。刘徽根据出入相补原理证明了勾股定理，改进了勾股数的计算公式，并将其广泛应用于解决勾股容方、勾股容圆和立体体积等各种几何问题。这种简明直观具有独特风格的几何证明方法，与古希腊欧几里得几何学思想是根本不同的。
勾股测量是勾股定理的一项重要实际应用。《九章算术》中的例题表明，勾股测量是解决一些简单测量问题的有效手段。这种测量方法起源很早，传说大禹治水的时候就已经采用了。在《周髀算经》和张衡《灵宪》中也都有所论述。《周髀算经》里记载的陈子测日法，通过两次测量结果进行推算，发展了勾股测量方法。这实质上就是东汉时期的天文学家和数学家所创立的重差术。把重差术用于测算太阳的高度和距离，当然不可能得到正确的结果。但是，如果用于测量和推算远处目标的高度、深度、宽度和距离，无疑是一种有效的方法。赵爽在《周髀算经注》的《日高图注》中，利用几何图形面积的关系，给出了重差术的证明。刘徽在《海岛算经》中通过九个实例，对于重差术作了系统的总结，并且提出根据三次和四次测量结果的推算公式，用以解决复杂的测量问题。重差术是当时世界上最先进的用于测量的数学方法。中国古代绘制地图的工作取得了卓越的成就，长沙马王堆出土的西汉初期帛画地图，其精确程度就已令人叹服，后来又有所进步，这与测量数学有较高水平是分不开的。
第二节割圆术和圆周率中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，即π=3。这个数值与文化发达较早的其他国家所用的圆周率相同。但是，这个数值误差很大，后来的数学家不断努力去探求更精确的结果。据公元1 世纪初制造的新莽嘉量斛（一种圆柱形标准量器）推算，其圆周率值应是。世纪初，东汉天文学家张衡分别取用π 3。1547 2 =730232≈ 和π ≈ 。三国时东吴王蕃取π＝ ≈ 3。1466 = 3。16221424510 31556 。 。其中最突出的是魏晋之际的杰出数学家刘徽。刘徽生活在魏晋时期，生平不详，曾作《九章算术注》九卷，另撰《重差》一卷附于《九章》之后，两者并为十卷。唐初以后《重差》另本单行，被称为《海岛算经》。此外，他还撰有《九章重差图》一卷，已失传。刘徽是中国传统数学理论的奠基者和代表人物，他的主要贡献之一是在《九章算术注》中创造了“割圆术”，为圆周率研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法。刘徽割圆术的基本思想是用圆内接正多边形的周长和面积逼近圆周长和圆面积。逼近的最终结果，正如他所指出的“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”①，即极限情形是两者完全重合。刘徽从圆内接正六边形算起，一直到求出圆内接正96 边