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蛴朐埠咸宥匏б印雹伲醇耷樾问橇秸咄耆睾稀Ａ趸沾釉材诮诱咝嗡闫穑恢钡角蟪鲈材诮诱�96 边形边长和正192 边形的面积得到π 继续求出圆内接正边形的面积得到π ； ； ； =15750= 3。14 3072 =39271250=3。1416。这两个结果是比较好的，现在还经常使用，其计算程序也比古希腊数学家阿基米德的类似方法简便得多。继刘徽之后，南北朝时祖冲之把圆周率推算到更加精确的程度。祖冲之是我国历史上最杰出的数学家、天文学家和机械发明家，本编别有传。祖冲之著有《缀术》、《九章算术注》、《大明历》、《驳戴法兴奏章》、《安边论》、《易老庄义》、《论语孝经释》、《述异记》等，《隋书·经籍志》还载有《长水校尉祖冲之集》51 卷，但大部分已失传。他的数学专著《缀术》，唐代收入《十部算经》，立于学官，要学习四年，并曾传到朝鲜、日本，但也已失传。关于圆周率问题，据《隋书·律历志》记载，祖冲之求出π的不足近似值3。1415926 和过剩近似值3。1415927，并确定π的真值在这两个近似值之间，即3。1415926＜π＜3。1415927，精确到小数七位。这是当时世界上最先进的成果，直到约一千年后才为15 世纪中亚数学家阿尔·卡西和16 世纪法国数学家韦达所超过。至于他得到这两个数值的方法，一般认为是基于刘徽割圆术。祖冲之还确定了π的两个分数形式的近似值：约率π ≈ ， =2273。14密率π ≈ 。这两个值都是π的渐近分数。其中约率=3551133。1415929227早已为阿基米德和何承天所知，密率则是祖冲之首创。密率355113355113是如何得到的，有调日法术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等多① 《九章算术》方田章圆田术刘徽注，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，1963 年版。种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π 是世纪由德国数学家奥=35511316托和荷兰工程师安托尼兹分别得到的，并通称为“安托尼兹率”。但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。为了纪念祖冲之在科学上的贡献，人们建议把密率称为“祖率”，紫金山天文台已把该台355113发现的一颗小行星命名为“祖冲之星”，莫斯科大学里刻有祖冲之的雕像，在月球背面也已有了以祖冲之的名字命名的环形山。
第三节球体积公式球体积的计算是个相当复杂的问题。在《九章算术》中，球的体积公式相当于（ 是球的直径）。这是一个近似公式，误差很大。张衡曾V =916d d 3经研究了这个问题，但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π∶4 的结论是错误的，并正确指出球与“牟合方盖”（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”）的体积之比才是π∶4，把对于球体积问题的研究推进了一大步，但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后，祖冲之和他的儿子祖暅才在这个问题上取得了突破。祖暅，字景烁，曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等，也是南北朝时期著名的数学家和天文学家，著有《漏刻经》一卷，《天文录》三十卷等，均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著，说他还曾参加阮孝绪编著《七录》的工作。祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于，从而得到正确的球体积公式2 33 dV =1 6d = 3 π ，彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π ，227因此他们的球体积公式为。祖氏父子在推导牟合方盖体积公式的V =11213 d过程中，提出了“幂势既同，则积不容异”（即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等）的原理。现在一般把这个原理称为“祖暅原理”。在西方，17 世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理，即被称为“卡瓦列里公理”，这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步。第四节同余式和不定方程在三国两晋南北朝时期的数学著作中，《孙子算经》卷下的“物不知数问题”和《张丘建算经》卷下的“百鸡问题”，是世界著名的数学问题。《孙子算经》三卷，作者不详，约成书于公元400 年前后，《张丘建算经》三卷，作者张丘建，清河（今河北清河）人，生平不详，约成书于公元466 至485年之间。这两部著作都被收入唐代《十部算经》，立于学官，并流传至今。“物不知数问题”亦称“孙子问题”，大意是：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数余二，问该物总数共有多少？这个问题应该求解一次同余组：N=2（mod3）=3（mod5）=2（mod 7），答案是N＝70×2＋21×3＋15×2…2×105=23。后来，孙子问题成为广泛流传的一种数学游戏，被称为“韩信点兵”等，并且还编有一首“孙子歌”：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”，这首歌诀暗示出问题的解法。但这不是同余式的一般解法。“孙子问题”与古代历法中推算上元积年有关，南宋数学家秦九韶创造“大衍求一术”，完满地解决了这一问题。他所得到的一次同余组解法公式，现被称为“孙子剩余定理”。
“百鸡问题”的大意是：公鸡1 只，值钱5 文；母鸡1 只值钱3 文；小鸡3 只，值钱1 文。今有100 文钱买鸡100 只，问可买公鸡、母鸡和小鸡各多少只？此题有三个未知数，仅能列出两个方程，属于不定方程问题。《张丘建算经》给出三组答案，并有一段说明文字。但是由于其中没有具体解法，因而引起种种猜测。对于中国古代如何解不定方程，至今众说纷坛，尚无定论，不定方程问题最早见于《九章算术》方程章的“五家共井”题，但术文简略，暗含限制条件，没有一般解法。北周甄鸾《数术记遗》也收录了百鸡问题，但数据与《张丘建算经》有所不同。该题应有两组答案，但他仅给出一组，并说明这类问题“不用算筹，宜以心计”，即采用试算的办法去解决。南宋杨辉《续古摘奇算法》引述了《辩古根源》（已失传）中的“百桔问题”，该题应有四组答案，书中仅列出一种，是不完全的。直到19 世纪，清代数学家才把这种类型的问题和求一术（一次同余组问题）联系起来，获得了比较完善的解法。晚于《九章算术》时代的公元3 世纪古希腊数学家丢番图，对不定方程问题进行了深入的研究，取得了非常出色的成果。15 世纪中亚数学家阿尔·卡西的“百禽问题”，与“张丘建算经”的“百鸡问题”非常类似，很有可能受到中国数学的影响。
第五节解线性方程组和解二次、三次方程《九章算术》方程章方程术，是关于线性方程组解法的重要成就。这种方法是用直除法消元，直到每行只剩下一个未知数，即可求得方程的解。但是这种方法比较繁琐，刘徽认为“举率以相减，不害余数之课”①，于是创立新术，采取相应各行系数互乘后再消元的方法。刘徽的互乘相消法已和现在所用的线性方程组解法基本上一致。
在中国古代，把开各次方和解二次以上的方程，统称为“开方”。《九章算术》中已经给出了完整的开平方法和开立方法，而正系数二次和三次方程的解法，就是在开平方和开立方法的基础上自然引伸出来的。魏晋南北朝时期，解二次和三次方程又有了新的进展。如赵爽在《勾股圆方图注》中推导出（其中＞ ， ＞ ）的求根公式＝ － 。… x ＋ ax = A a 0 A 0 x a … a 4A 2 2 12（ ）《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率后，又说“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”②，据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般二次方程和三次方程，也就是容许方程中有负数项。在当时，解决这类问题是比较困难的，所以说“指要精密，算氏之最者也”。
① 《九章算术》方程章，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，1963 年版。② 据钱宝琮主编《中国数学史》第89—90 页，科学出版社1964 年版。
第六节实用算术和其他成就在三国两晋南北朝时期的数学著作中，还讲述了一些切合当时民生日用并且解题方法浅近易晓的实用算术知识。如《孙子算经》系统记载了算筹记数制度，筹算乘除法则和度量衡的单位名称及进制。甄鸾字叔遵，无极（今河北无极）人，曾任北周司隶大夫，汉中郡守。信佛教，尝撰《笑道论》。通天文历法，撰《天和历》，于天和元年（566）颁行。所撰数学著作《五曹算经》，分田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹五卷，是为地方行政官员编写的应用算术书；《五经算术》则是对儒家经籍及其古注中有关数字计算的解释；《数学记遗》题汉徐岳撰，可能是甄鸾伪托之作，其中记载了十进、万进和数穷则变的大数进位法。《数术记遗》还列举了积算、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，共14种记数方法和相应的记数工具，多不实用，但也反映了人们改革计算工具的尝试，其中的珠算虽和后世的珠算不同，但也可能对珠算术的产生起过某种启发作用。
这一时期除上述成就外，诸如刘徽的求弓形面积方法，阳马术的证明，开方不尽求微数的十进小数思想，以及张丘建的等差级数求和、求公差及项数公式，最小公倍数的概念和应用等等，都是很有创见的贡献。
第七节刘徽的极限思想刘徽为证明《九章算术》中的各种公式，提出了“析理以辞，解体用图”的要求，并创立了对许多问题行之有效的图验法和棋验法。但是有些问题并非仅仅用棋用图就可以解决的，而是需要具备相当清楚的极限思想。
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