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得我们劳而无功”）；
意义重大 （“在通向那隐藏着的真理的曲折路径上，它是一盏指路明
灯”）。
果尔丹问题使他像着魔一般怎么也放不下手。在旅行访问结束之后，希
尔伯特回到了哥尼斯堡，但他的思想却终日沉浸在这一问题中，甚至在他喜
爱的舞会上也没有停止思考它。
9月6日，希尔伯特给哥廷根科学会的《通讯》寄去了一份短短的注记。
在这篇注记中，他完全出人意料地开辟出一条全新的路径，表明如何用统一
的方法对任意个变数的代数形式建立起果尔丹定理。这个轰动世间的关于不
变量系有限基存在性的证明，其基础是一条引理，即关于“模”的有限基的
存在性。“模”是希尔伯特在研究克隆尼克的工作时得到的一个数学概念。
这条引理如此简单，看起来极其平凡。而果尔丹的一般性定理又可以从它直
接导出。这件工作是体现希尔伯特思想之精神实质的第一个例子。
即使完成了1890年的那些工作，果尔丹问题仍萦绕在他的心中。作为一
名数学家，比起存在性证明来他还是更喜欢有一个实际的构造。在其后的两
年间，他的工作开始发生了变化。代数构成的思想浇灌了他的心田。突然，
在1892年，希尔伯特用他的结果结束了一直被人们讨论不休的不变量理论，
整个理论的呼吸随之停止了。
随着希尔伯特超凡脱俗地拨开了果尔丹问题的迷雾，他开始认识了自
己，也找到了他的研究方法——钻研单个的重要问题，这个问题的解决，其
意义将远远超出问题本身。可是，正当大家期望希尔伯特能来重整果尔丹这
个学术领域，从而使它摆脱一筹莫展的局面时，却出现了人们无论如何意想
不到的情况：希尔伯特不愿再为承担上述工作而花费时日了。最初引起他兴
趣的问题被解决了，就意味着他自由了。他将坚决地离开它，迎着更深奥的
课程前进。
五、转变
紧接着的3年间，希尔伯特在学术界的地位上升了，他做了大多数年轻
人在这种年纪要做的一切事情：结婚、生孩子、接受重要的任命，他还做了
一项决定，这项决定改变了他的生活进程。
在德国各大学中争夺学术职衔的竞争中，当了8年副教授的赫维茨接受
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了苏黎世瑞士联邦技术学院正教授提名。虽然这意味着那日复一日的数学散
步即将结束，但赫维茨的位置却为希尔伯特打开了希望之门。
1892年8月，教授会一致决议：由希尔伯特接任赫维茨副教授的职位。
希尔伯特那经济拮据的讲师生活终于到了头。他欣喜地将此晋升的消息写信
告知闵可夫斯基，同时宣布了他举行婚礼的日子。
10月12日，希尔伯特与比自己小两岁的喀娣·耶罗士举行婚礼。实际
上希尔伯特和耶罗士家族有着亲戚关系。喀娣为人正直、坚强、贤惠，既体
贴人又直率，还总有独创的见解，是希尔伯特理想的伴侣。
随着职务和生活中私事的变迁，希尔伯特开始表现出一种新的数学兴
趣，“从现在起，我要献身于数论”这是他在完成了最后一篇关于不变量的
文章后曾经告诉过闵可夫斯基的。现在，他真的转向了这个新课题。
众所周知，是高斯把数的理论置于科学之巅。他把它描绘成“一座仓库，
贮藏着用之不尽的能引起人们兴趣的真理。”希尔伯特则把它看作“一幢出
奇的美丽又和谐的大厦。”像高斯一样，希尔伯特被数论迷住了。但尽管他
们对数论的评论相似，他们所谈论的却是数论的两种不同的版本。
高斯称赞经典的数论，它溯源于希腊，讨论存在于自然数之间的关系。
其中最重要的是素数间的关系。到了高斯时代，数的概念已经远远超出了自
然数的范围。高斯本人是把数论的概念从有理“域”拓展出去的第一位数学
家，他认为在有理“域”中，两个数的和、差、积、还有商（这一点，跟自
然数的情形不一样）仍然属于有理数域。希尔伯特所称道的正是高斯开创的
数论的新发展。
现在，他使用跟他打通攻克果尔丹问题之路差不多的办法，开始了在代
数数域方面的工作，他返过头来思考基本概念，直到得出解决办法。他的第
一篇关于新课题的论文，给出了域内整数分解成素理想数的唯一分解定理的
另一个证明。
希尔伯特一直很难安心于他的新境遇：作一个有薪水。有妻子的副教授。
因为这里又有了让人欣喜的消息：林德曼已经接受了慕尼黑大学的邀请，将
要离开哥尼斯堡。不久，年仅31岁的希尔伯特接任了林德曼的教授职衔，这
也为闵可夫斯基由波恩返回哥尼斯堡接任希尔伯特的副教授之职带来了良
机。但是直到1894年春天，闵可夫斯基才在希尔伯特的帮助下摆脱了波恩方
面的阻挠，回到了哥尼斯堡。每天在苹果园中散步以及关于数论的讨论终于
又重新愉快地开始了。
希尔伯特的新家万事如意，井井有条。1893年8月11日，他的第一个
孩子在海滨胜地克拉兹出世了，他给儿子起名叫弗朗士。
此后几星期，希尔伯特到慕尼黑参加了德国数学会年会。这个学会是最
近才由包括希尔伯特在内的一群数学家筹建起来的，其目的是为了使不同的
数学分支之间有更多的交流。会上，希尔伯特提出了关于将一个域中的数分
解成素理想数的两个新证明。虽然他刚刚开始发展代数数论方面的工作，但
他的能力显然深深打动了其他成员。学会有一项计划，要按年发表不同数学
领域的综述性文章。现在，经大家公认请希尔伯特和闵可夫斯基在两年内准
备一篇数论发展现状报告。这样紧急地指定这项任务，是因为库莫尔、克隆
尼克和戴德金的革命性工作极其复杂，以至当时大多数数学家依旧无法理解
它。现在人们期待希尔伯特和闵可夫斯基来改变这种状况，这种期待不仅是
对他们的数学能力的称颂，也是对他们具有简明和清晰的数学表达力的赞
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赏。
随着闵可夫斯基在1894年返回哥尼斯堡，希尔伯特感到心满意足，因为
再不能有更好的合作者来一起写这份年度报告了。现在，年度报告在希尔伯
特心中开始成形。对一个年轻数学家来讲，干数学会分派的任务，也许是一
件不受欢迎的零活，但希尔伯特并不这样认为，他已经用自己的工作表明，
他对把互反律推广到代数数域特别感兴趣。目前，他自愿把这些计划搁置一
边，而要在写这份指定的报告时看准机会为更深入的研究打下必不可少的基
础。虽然他俩不喜欢靠书本来做学问，但他却阅读了自高斯时代以来所有发
表的有关数论的著作。对一切已知定理的证明，都要仔细地揣摩以估量优劣。
然后，他必须去判定哪些证明中的“原理能够加以推广，对进一步的研究最
为有用”。可在能够作出选择之前，进一步的研究必须先开展起来。那些一
直阻碍着人们去全面评价和领悟他的前辈工作的那些思想作风方面的困难，
必须予以清除。决定已经做出，这份报告应该分成两个部分：闵可夫斯基讨
论有理数论；希尔伯特讨论代数数论。在1894年期间，希尔伯特为他所承担
的那部分报告奠定了基础。
可是没过多久，这两位肝胆相照的挚友又得惜别。12月初，希尔伯特接
到世所公认德国数学界的领袖——克莱因来自哥廷根的信，信中说：“我将
尽力让你取得这里的任命。”“为了我的科学团体，我需要你这样的人。因
为你的研究方向，你丰富而强有力的教学思想，以及你处在富于创造活动的
年龄。”“你还能产生出使我返老还童的影响。”“但是，有件事你今天就
得答应我：倘若你接到任命，你将不会拒绝。”
没有记录说明希尔伯特曾考虑过拒绝，事实上，他欣喜若狂地给克莱因
回信说：“我的一切努力所追求的最终目的，本希望只能在遥远的未来才能
实现的夙愿，已经有了实现的可能。”“你，范围更大的影响力的环境，以
及你们这所大学的光荣，都将提供一种科学上的刺激力，这对我来说最有决
定意义的。”
六、哥廷根的教授
哥廷根，是座寂静秀丽的小城市，古老的城墙至今还围绕着哥廷根的内
城。哥廷根大学的科学传统为卡尔·弗里德里希·高斯所首创。高斯于1795
年进入哥廷根大学，在他21岁离开大学之前，就已经完成了那篇数论杰作《算
术研究》。当他年事已高时，他在数学与应用数学方面赢得了与阿基米德和
牛顿相当的荣誉。
希尔伯特1895年3月来到哥廷根时，差不多刚好是高斯到达这里之后的
整整100年。当时，这里有两位著名的数学家——克莱因和海因里奇·韦伯。
克莱因的声望吸引着世界各国的学生。他的讲演被奉为经典。因为他每
次在开始讲课之前都已经为所有公式、图表和引文作好了周密的安排。讲演
过程中写上黑板的东西从来不必擦掉。最后，整个黑板就包含了对讲演的内
容的一个绝妙概括，每一个小方块都写得恰到好处井然有序。与之相比，希
尔伯特的讲演就远不如其尽善尽美，而是不修边幅