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“数学的整个领域都极其散漫，”坦普尔大学数学教授小彼得。哈及斯说，“我研究完全数是出于闲散的好奇心，因为它可能是最古老的未决问题。研究它也许意义不大，然而这一问题如此古老，没有人认为对之进行研究完全是浪费时间。如果这一问题是5年前第一次提出来的，那它是决不会令人感兴趣的。”
无论在哪一领域，达到完善总是很难的，偶数完全数也不例外。但是，人们至少知道它们是存在的。我们已发现了30个偶数完全数，最大的是一个由13万位阿拉伯数字组成的庞然大物：2216，090（2216，090…1）。也许第三十一个完全数不会出现了，因为早在2300多年前数学家就已知道有无穷多的素数（即只能被1和它本身整除的数），但在同一时期，他们却不能决定完全数是不是无限的。
要是在俄国茶室或“四季”咖啡馆里喝着可乐会见米歇尔。弗里德曼我会很高兴的，但他宁可让我们在斯替韦桑特中学他的校长办公室中见面，而该校是曼哈顿数学家和科学家的中心。传说，爱因斯坦不能做加减运算，但可在睡梦中研究高深的数学。米歇尔的情况也可以这么说。在选择我们会见时间这种简单的事情中就体现了出来，因为这位杰出的小伙子不适于将中学时间——“第三节”和“第五节”——转换成我们常人所遵照的小时和分钟。然而一旦我们真聚到了一起，这位腼腆的天才就口若悬河地谈论起来，一下成了使人兴趣盎然的人了。
米歇尔告诉我：“去年我为一位数学老师写一篇论文，我知道关于奇数完全数的问题。这问题使我感兴趣，因为它很简单，可还没人找到答案。”接着，米歇尔首先回顾了完全数的历史。
古人只知道4个完全数，它们是：6，28，496和8，128。欧几里得认识到——大概只有古希腊的神祗才晓得他是如何知道的完全数 ………… 位数1。 21 （22…1 ） =6…………1 2。 22 （ 23…1 ） =28…………2 3。 24 （25…1） =496…………3 4。 26 （27…1） =8，128…………4 5。 212 （213…1） =33，550，336…………8 6。 216 （217…1 ） =8，589，869…………056…………10 7。 218 （219…1） =137，438，691，328…………12 8。 230 （231…1） =…………19 9。 260 （261…1） =…………37 10。 288 （289…1） =…………54 11。 2106 （2107…1） =…………65 12。 2126 （2127…1 ） =…………77 13。 2520 （2521…1 ） =…………314 14。 2606 （2607…1 ） =…………366 15。 21，278 （21，279…1） =…………770 16。 22，202 （22，203…1） =…………1，327 17。 22，280 （22，281…1） =…………1，373 18。 23，216 （22，317…1） =…………1，937 19。 24，252 （24，253…1） =…………2，561 20。 24，422 （24，423…1）=…………2，663 21。 29，688 （29，689…1） =…………5，834 22。 29，940 （29，94l…l）=…………5，985 23。 211，212 （211，213…1）=…………6，751 24。 219，36 （219，937…1）=…………12，003 25。 221，700 （221，701…1）=…………13，066 26。 223，208 （223，209…1）=…………13，973 27。 244，496 （244，497…1）=…………26，790 28。 286，242 （286，243…1）=…………51，924 29。 2132，048 （2132，049…1）=…………79，502 30。 2216，090 （2216，091…1）=…………130，100这4个数是由公式2n…1（2n…1）当n=2，3，5和7时推出来的。算式如下：n＝2，21（22…1）=2（3）=6 n=3，22（23…1）＝4（7）＝28 n＝5，24（25…1）＝16（31）＝496 n＝7，26（27…1）＝64（127）＝8，128欧几里得看出，在全部的4个算式中，2n…1是素数（3，7，31和127）。这种发现促使他证明一个重要的定理：当2n…1为素数时，那么公式2n…1（2n…1）则得出偶数完全数。
欧几里得的证明使得完全数理论有了一个兴旺的开端。但由于其他数学家的短视，这一理论进展缓慢。许多思想精微的人自以为他们看出了数字模式，其实这些数字并不存在。如果他们看得更远一点，他们就会发现这种模式是虚幻的。
古人观察到，前4个完全数都是以6和8结尾的。进一步说，最后一个阿拉伯数字似乎是6，8，6，8地交替出现。所以有人推测，完全数最后一个阿拉伯数总会是6或8，并且它们会继续交替出现。第五个完全数——古代人并不知道——的确是以6结尾的。但第六个完全数也是以6结尾的，这就打破了交替出现的模式。然而，关于最后一个阿拉伯数字总是6或8这一点，古人还是正确的。今天，数学家可以研究30个完全数——比古人多出7倍以上——但他们还必须找出尾数为6和8的模式。
古人还观察到，第一个完全数有一位数字，第二位完全数有2位数字，第三个有3位数，第四个有4位数。所以他们推测，第五个完全数会有5位数。在欧几里得故去17个世纪后发现了第五个完全数，它赫然具有8位数：33，550，336。并且位数继续迅速增多，以下3个完全数分别为8，589，869，056；137，438，691，328；和2，305，843，008，139，952，128。欧几里得证明了一旦2n…1是素数，那么2n…1（2n…1）就会得出一个完全数，但他并没有说n的哪一个整数值会使2n…1成为素数。由于使2n…1为素数的前4个n值为前4个素数（2，3，5，7），可能有人推测：如n为素数，2n…1也会是素数。那么，让我们来试试看第五个素数：11。如n=11，2n…1则为2，047，而2，047并非素数（它是23和89的积）。真实情况是：要使2n…1为素数，n必须是素数，而n为素数并不就意味着2n…1是素数。事实上，对于n的大多数素数值来说，2n…1并不是素数。
由2n…1一式得出的数列现在称作默塞纳数列，马林。默塞纳是17世纪的巴黎僧侣，他在尽僧职之余抽空进行数论的研究。根据欧几里得的公式，每发现一个新的默塞纳素数，就会自动出现一个完全数。 1644年，默塞纳自己说，213…1，217…1和219…1这3个默塞纳数是素数（8，191；131，071和524，287）。这位僧侣还声称267…1这个巨大的默塞纳数会是位素数。在250多年的时间里，没有人对这一大胆的声言提出疑问。
1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授弗兰克。纳尔逊。科尔提交了一篇慎重的论文，题为：论大数的分解因子。数学史家埃里克。坦普。贝尔记下这一时刻所发生的事：“一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算267。然后小心地减去1，得出21位的庞大数字：147，573，952，589，676，412，927。他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一步步做起了乘法运算：193，707，721×761，838，257，287两次计算结果相同。默塞纳的猜想——假如确曾如此的话——就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是惟一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下。没人向他提任何问题。”
在欧几里得证明他的公式总是得出偶数完全数的大约2，000年之后，18世纪的瑞士数学家伦纳德。尤勒证明，该公式将得出全部的偶数完全数。这样，我们就可以用另一种方式提出奇数完全数问题：是否存在不是由欧几里得公式得出的完全数呢？
为弄清最近取得的进展，年轻的米歇尔。弗里德曼埋头翻阅过期杂志：《计算数学》、《数论杂志》、《数学学报》及一堆决不会在咖啡桌上看到的其他期刊。他甚至参阅理查德。盖伊的艰深的经典著作《数论中的未决问题》，该书不仅讨论完全数，而且还探讨十几个其他神秘专题：“近超完全数”、“友谊图表”、“优雅图”、“贪婪规则系统”、“纽环游戏”、“达文波特…施尼茨尔系列”、“半友善数”、“友善数”和“不可接触数”。
米歇尔知道，困于这一棘手问题的数论学家们验明：如果真有奇数完全数存在的话，所必须具备的各类特征有：它必须被至少8个不同的素数整除，其中最大的一定要大于300，000，次大的也要大于1，000。如果奇数完全数不能被3除，它至少应被11个不同的素数整除。此外，当一个奇数完全数除以12时，它应有余数1；当它除以36时，它的余数应该是9。我们从这些验证中能得出什么结论呢？对奇数完全数的限制越多，奇数完全数存在的可能性就越小。1973年，彼得。哈吉斯运用这样的限制条件并借助于计算机肯定地证明了1050以下没有奇数完全数。米歇尔从盖伊的书中看到，自1973年以来，其他数论家“渐渐地把奇数完全数不可能存在的上限推到10100，尽管有人对后面这一证明表示怀疑”。
既然与盖伊一样有权威的人对这些证明提出质疑，米歇尔决定重新研究更低限问题。他运用 IBM PC机及一组限制因素，包括一些文献中极少提到的来自印度的限制因素，证明在1079之下不存在奇数完全数，1079有8个素数因数——这是一个奇数完全数所能有的最少的素数因数的数目。
米歇尔说：“我在论文中只是引用了盖伊的话：以前（关于奇数完全数低限很高）的证明是可疑的。当我参加威斯汀豪斯决赛时，我决定检查其他一些证明，但没有发现它们可疑的原因。因此，我给盖伊打了电话，他告诉我，数学家不喜欢由计算机做出的证明，因为你没法知道：编程序的人出继漏了吗？计算机出故障了吗？”
即使该计算机的计算错误（比如说在别的计算机上）被检查出来，但由于那些证明本身常常很长并且很复杂，因而除了原作者没人对它们一步步地仔