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布拉姆斯在《政治学中的悖论》一书中总结了更复杂情况中群体非传递性概率的最新研究，其结果是在选择对象和投票人数目增加的两种情况下，非传递性的概率才增加，但它对选择对象的数目更为敏感。如果选择对象固定数为3时，则悖论的可能性会略有增加，从5。6％（投票人为3时）增加到8。8％（投票人数接近于无穷大）。如果投票人固定数为3的时候，则悖论的可能性会陡然上升，从5。6％（选择对象为3时）增加到100％（由于选择对象数接近无穷大）。的确，布拉姆斯特别提到对于投票人的任何固定数，由于选择对象数无穷地增加，悖论的概率必然会逐渐上升。
摘自史蒂文。布拉姆斯著《政治学中的悖论》（纽约，1976年自由出版社）第42页。
对策论中的数学可以与许多其他抽象数学学科中所涉及的数学进行简单的比较。但它决不是无价值的。的确，数学常常会导出反直觉的或者违背所预期的结果。数学的简明性不会使对策论的严密性比高维拓扑学的严密性更差，刊登这种问题的杂志也只有一小部分博士能够读懂。简明性甚至可能是优点：对策论中的数学是这样容易理解，从而几乎没有可能由于文献中的数学论述模糊难懂而引不起人们的兴趣。
美国数学学会的全体官员都认为布拉姆斯的论述有误。这样一个著名的数学家团体能出现差错的事实表明对策论的结果是如何令人吃惊。这种错误论述出现在美国数学学会的投票说明上，学会会员将使用该说明选出参加特别委员会的代表。对于这次投票，美国数学学会恢复了表决程序，采用单一的可转让投票制度（又称选择投票法）。它是19世纪50年代后期由不引人注意的英国律师托马斯。黑尔提出的，他曾撰写过两本书，批判传统的投票制度。
黑尔曾特别为下述事实所苦恼：在传统的比例代表制中，每个选区选举一位以上的候选人，实际上，为数甚多的少数选民可能会被剥夺掉选举权，尽管他们的原号码表明他们有资格选出代表。现考虑一个假设的选区，要从4位候选人中选出两位代表。把其中的两位候选人称作匈奴人阿蒂拉和吉。乔，他们都是典型的保守派人士，两人中阿蒂拉是极右人士。另外两位候选人是哈尔。汉道特和弗里达。弗里拉夫，他们都是自由派。两人中弗里拉夫更富有同情心。该选区内有23位选民，其中13位是保守派，10位是自由派。23位选民的选举意愿，按照对候选人的选择从第一选择到最后选择的顺序排列如下：选民数 第一选择 第二选择 第三选择 第四选择7 阿蒂拉 吉。乔 汉道特 弗里拉夫6 吉。乔 阿蒂拉 汉道特 弗里拉夫6 汉道特 弗里拉夫 吉。乔 阿蒂拉4 弗里拉夫 汉道特 吉。乔 阿蒂拉在选举中，每位选民允许选出两位候选人，阿蒂拉和吉。乔都将当选。因为这两位候选人每位都各得13票。结果是10位自由派选民将没有代表，即使他们构成全体选民的43％。而13位保守派选民仅构成全体选民的57％，却有100％的代表。
黑尔认为，所选出的代表应更精密地反映全体选民的构成，他巧妙地设计出一种复式选举制，它要求每位选民按其选举意愿顺序列出候选人名单，使选民能在候选人中间区别他们。然后把第一选择投票列成表格，而候选人只要达到定额选票，都要当选。
定额需要计算，它应是第一位选票的最小数，使得最大数目的候选人都能达到与候选席位数相符合的定额。例如上述例子中，有23位选民和2席候选席位，当选的定额应是8票；这样只有2位候选人（并非3位）能得到8票的第一位选票。定额定为7票又太低，因为有3位候选人可能会达到这个定额；由于只有两个待选席位，因此达到定额的候选人多出了一位。（一般说来，定额可用下法求出，即用选民数除以比待选席位大1的数，再加1即为定额数，但要舍去得出的任何分数。）
假设至少有一位候选人达到了定额选票，而且至少仍有一个席位空缺待选，那么当选的候选人超出定额的选票会按比例地转移到那些选民票数多的候选人身上。如果这种转移促成另一位候选人达到定额，那么他也当选；而且如果席位仍然未满，则超额的选票会再次按比例地转移。这个过程会继续下去，直到所有席位选满为止。如果在任何一处还有待选席位，但却没有超额选票转移，那么得票数最低的候选人就会被淘汰掉，而他的支持者会简单把他们的选票转移到他们选择的、票数最多的、仍在参加竞选的候选人身上。这个概念就是不会有选票作废的概念；如果选举需要选出的不只是一位候选人，可以在别处计票；如果把它分散在最少选票的候选人身上，也可以在别处计票。
理解这些选举规则的最好方法是把它们应用于具体实例上。
试把这些章程用于我们上面设想的选区内。由于定额是8票，4位候选人中每位都不能达到定额。因此得票最少的候选人弗里达。弗里拉夫就被淘汰掉，而她的4位支持者将他们的选票转移给哈尔。汉道特，即他们的第二选择。如果弗里拉夫已从选举意愿表中淘汰掉，那么其顺序表如下：选民数 选举意愿（从最好到最差）
7 阿蒂拉 吉。乔 汉道特6 吉。乔 阿蒂拉 汉道特10 汉道特 吉。乔 阿蒂拉现在哈尔。汉道特已超过定额2票，因此他已当选，他的超额两票已转移到吉。乔身上：选民数 选举意愿（从最好到最差）
7 阿蒂拉 吉。乔8 吉。乔 阿蒂拉这时吉。乔也已达到定额票数，所以他赢得了另一席位。
汉道特和吉。乔的当选使黑尔兴奋：不论保守派还是自由派都有了代表，每个阵营中比较激进的候选人均未能当选。这样一种结果给约翰。斯图尔特。穆勒以深刻印象，他称颂黑尔的选举制是“在政府的理论和实践方面所做出的最伟大的改进之一”。今天，黑尔的选举制已广泛地用于澳大利亚、马耳他、爱尔兰共和国和北爱尔兰的立法选举和纽约市的学校董事会选举以及马萨诸塞州坎布里奇市的市政委员会选举上，更不必说许多像美国数学学会这一类的专业组织的投票选举了。
美国数学学会的投票包括两种强硬的说法：“标出较少的候选人不会获得战术上的有利条件。”以及“按你的选举意愿顺序标出候选人，直到你认为不了解或你不感兴趣而没有标出的候选人，这是可取的。”而布拉姆斯举出了一个能够证明这种做法是不真实的例子，它可能有利于标出较少数的候选人。假定有17位选民，2个待选席位和4位候选人，现称他们为格拉夫博士、迪济特博士、波因特博士、马尼福尔德博士，选民的选举意愿顺序如下：组选别民 选举意愿顺序（从最好到最差）
数A 6 格拉夫博士 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B 6 格拉夫博士 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 5 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士格拉夫博士赢得了17张选票，定额为6票，超额了11票。因此这11票需要转移。在这种情况下，选民们都支持当选者，不会再做其他选择了。而黑尔的选举章程（这是美国数学学会所遵循的）要求将超额的11票按比例地转移：11票的6／17转移到A组，11票的6／17转移到B组，而11票的5／17转移给C组，其结果如下：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B 3。9 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 3。2 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士由于没有一个候选人能达到定额，得票最少的候选人马尼福尔德博士就被淘汰掉，而其支持者的3。2票会转移到他们选举的选票高的候选人波因特博士身上：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 7。1 迪济特博士 波因特博士B 3。9 波因特博士 迪济特博士现在迪济特博士已超过6票定额，所以他与格拉夫博士一样，成为当选的候选人。
B组的6位选民（其选举意愿顺序为格拉夫博士、波因特博士、马尼福尔德博士和迪济特博士）为他们的第一选择当选而高兴，但也感到不安，因为他们的最后选择也当了选。假定选举重复下去，一切照旧，那么6个选民中就有两位决定不去理会美国数学学会的说法（“标出较少的候选人不会获得战术上的有利条件”），而且都把选票投在格拉夫博士身上。这样选举意愿就会分成4类：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 6 格拉夫博士 迪济特博士波因特博士 马尼福尔德博士B‘ 4 格拉夫博士 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士B“ 2 格拉夫博士C 5 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士在第一个顺序表上，格拉夫博士再次成为全体选民一致选择。他支持者的11票超额选票的6／17分配给A组，4／17分配给B’组，2／17分配给B”组，还有5／17分配给C组。于是B“组就被淘汰了。因为其成员除在第一选择外不能再标出其选举意愿了。因此情况形成如下：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B‘ 2。6 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 3。2 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士在第一次选举中，第二位