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发点，这项荣誉应归于克卜勒。当他说明他对亚基米德测量圆的第一定理如
何了解时，他以很简单的方式表达了这一点。亚基米德的这第一定理是大家
都知道的，那就是：假如一个直角三角形的勾等于一个圆的半经，股等于圆
的圆周，那么这个圆便等于这个直角三角形。因为克卜勒把这一定理的意义
当作是圆周所有的部分和它所有的点同样多，即无限多，而每一部分都可以
看作是一个等腰三角形的底线等等，所以他就把连续物的分解表现，一分立
物的形式。这里出现的无限这一名词，与它在微分计算中应该有的规定，还
离得很远。——假如现在为这些分立物已痤找到了一种规定性或函数，那么，
以后还又应该把它们总括起来，本质上作为连续物的原素。但是既然点的总
和不能给予线，线的总和不能给予面，那么，这就是点立刻已经被认为有线
的性质，线也有面的性质了。但是那些有线的性质的东西还不就是线（假如
它们被当作定量，那就会是线了），所以它们被想像为无限小。分立物只能
够是一个外在的总括，在总括中的环节，保持着分立的一的意味；从这些一
所出现的解析的过渡，只是到它们的总和，同时，这种过渡并不是由点到线
或由线到面等几何的过渡：所以对于那些以点或线为其规定的原素，同时也
就给予了（对以点为规定的原素）以线或（对以线为规定的原素）以面的性
质，从而像是由细小的线的总和便成了一条线，由细小的面的总和便成了一
个面。
需要取得质的过渡这一环节并为此而以无限小作避难所，这一点必须看
作是一切想要消除上述困难而本身却成了最大困难的观念的来源。要避免这
种救急的应付，那就必须能够指出似乎是单纯加法的解析法，事实上本身已
经含有乘法。但是在这方面，又出现了一个新的假定，它构成把算术比率应
用于几何形状的基础：那就是算术的乘法对于几何规定，也是一种到较高因
次的过渡，——一些大小，按照其空间的规定而言，是线；它们算术的乘法，
同时就是线成了面的规定那样一个乘积；3 乘4（直线的）尺，是12（直线
的）尺，但3（直线的）尺乘4（直线的）尺却是12（平面的）尺，而且当
然是平方尺，因为两者既是作为分立的大小，共单位是同一的。直线与直线
相乘，起初显得似乎有些荒谬，因为乘法只涉及数，是数的变化，这些数与
其由过渡而成的东西，或说乘积，是完全同质的，不过大小变化了而已。另
一方面，所谓线本身与线之相乘——这被称为积诸线为线（ductus lineae in
lineam），就像积诸面为面（plani in planum）那样，积诸点为线（ductus
punctiin lineam）也是如此——这不单纯是大小的变化，而是线作为空间的
性质的规定性、作为一维（Dimension）的变化；必须把线过位为面理解作线
超出自身之外，正如点超出自身之外为线，面超出自身之外为立体那样。说
点的运动就是线等等，其所想像的，与上面所说，是同一的东西；但是运动
包括时间规定，并且在那种观念中，更像仅仅是情况的偶然的、或外在的变
化；而须要采取的，却是表现为自身超出的概念规定性，——即是质的变化，
并且在算术方面，它就是（如点等等）单位与（线等等）数目的相乘。这里
还可以注意到在面超出自身时，便会出现面与面相乘，而发生算术乘积与几
何乘积有区别的假象，因为面的超出自身，作为积诸面为一面（ductus plani
inplanum），在算术方面，会得出两个二维规定的相乘，从而会得出一个有
四维的乘积，但这乘积却由几何的规定而降低到三维。假如说在一方面，数
因为以一为根本，所以对外在的量的事物给予了固定的规定，——那么，它
的相乘也同样是很形式的：把3·3 当作数的规定，其自乘便是3。3x3·3；
但是同一的大小，作为面的规定，其自乘却在3。3。3 那里便被遏止住了，因
为空间虽然被想像为从点，这个仅仅是抽象界限出发前进，但它却以第三维
为它的真实界限，即从线出发的具体规定性。上述区别，对于自由运动，可
以证明是很有效果的；在自由运动中，其空间的一方面是受几何规定（s3：t2
的克卜勒定律）支配的，其时间的另一方面，是受算术规定支配的。
这里所考察的质的方面，如何与前一注释中的对象不同，可以无须更加
解说便自然明了。在前一注释中，质的方面包含在方幕规定性之内；在这里，
它却像无限小那样，仅仅在算术方面对乘积而言是因数，或者对线而言是点，
对面而言是徒等等。那个必须从分立物（连续大小被想像分解为这种分立物）
到连续物的质的过渡，现在将作为加法来完成。
但是这个似乎单纯的加法，事实上自身却包含着乘法，即包含从线的规
定到面的规定之过渡，例如一个等边四边形的面积等于两条相互平行线之和
与其高之半的乘积，就最简单地表现了这一点。这个高被想像为一些应该加
在一起的一定数量的分立的大小的数目。这些大小是线，它们是在那两条作
为界限的平行线之间并与其平行；它们的数量是无限多的，因为它们应该构
成面，但又是线，为了成为有面的性质的东西，便必须随着否定而建立。为
了避免从线的总和须得出面这样的困难，便立刻把线当作面，但同时却当作
是无限细窄的面，因为它们只是以不等边四边形平行界限的带有线的性质的
东西为其规定。它们是平行的，并且以不等边四边形另外两条直线的边为界
限，于是它们就可以被想像为是一个算术极数的诸项：各项的差分，一般是
相同的，但并不需要规定，而级数的首项和未项就是不等边四边形的那两条
平行线：这个极数的总和，就是大家知道的那两条平行线与全项数日之半的
乘积。后一定量只是完全对无限多的线这一观念而言，才被叫做数目；它是
一个连续物，即高的一般大小规定性。很明显，所谓总和，同时就是积诸线
为一线（ductus lineae in lineam），即线与线相乘，按照上面的规定，就
是带有面的性质之物的发生。在长方形这种最简单的情况下，a，b 两因数中
每一个都是一个单纯的大小：但是以后即使在不等边四边形这样最初步的例
子中，便已经只有一个因数是其高之半这样单纯的东西，而另一个因数，则
相反地是由一个级数来规定的；后一因数也同样有线的性质，但是它的大小
规定性较为复杂；因为这种规定性只能由一个系列来表示，这就是说要解析
地、即算术地把这个系列总加起来；其中几何的因素是乘法，是从线维到面
的过渡的质；前一因数只是为了后一因数的算术规定才被认为是分立的，就
本身而言，它也和后一因数一样，是一个有线的性质的东西的大小。
把面想像为线之总和这样的办法，当乘法本身与结果的目的无关时，也
常常被使用。假如所从事的，是耍指出在一方程式内的大小不是定量，而是
一个比例，上面所说的情况便出现了。这是人所共知的证明方式，例如一个
圆的面积与一个以此圆的直径为大轴的椭圆面积之比，正如大轴与小轴之
比，因为这两种面积，每一个都被认为是与它有关的纵座标的总和；椭圆的
每一纵座标与圆的相应的纵座标之比，也正如小轴与大轴之比：所以得出结
论说，纵座标的总和（即面积）的比例也是一样的。那些想耍避免面为线之
总和这一观念的人，使这些纵座标成为宽度无限小的不等边四边形，这种救
急的应付是很普通而完全多余的：因为方程式只是一个比例，所似乎面的两
个线的原素，只有一个得到比较。另一原素、即横座标轴，在椭圆和圆里被
认为是相等的，是算术的大小规定的因数，即是等于1，因此，这个比例完
全只依靠一个进行规定的因素的比率。对于面的观念必须要有两维；但是在
这个比例中所应指出的大小规定，却仅仅只涉及一个因素。对这一因素加上
总和的观念，使其顺从或帮助这观念，真正说来，这是误解了此处问题所在
的数学规定性。
这里所讨论的，也包含了前面提到过卡伐列里不可分方法的理由根据，
所以它也同样得到论证，无需逃难到无限小那里。当他考虑到面时，不可分
的东西就是线，当他考虑到梭锥体或圆锥体时，不可分的东西就是平方或圆
面等等；他称那些被认为已确定的底线或底面为准尺（Regel）；这是一个常
数，对一个系列的关系说，那就是系列的首项和未项：有了常数，那些不可
分的东西就将被认为是平行的，即从形状看来，它们是有同一规定的。现在，
卡伐列里的一般原理是（《几何习题》第六卷；后来的著作《习题》第一卷，
第6 页）：“一切形状，无能平面的或立体的，都与它们的一切不可分的东
西成比例，并集体地（kollective）加以比较，假如王这些不可分的东西中
有一共同的比率，就分配地（distributive）加以比较。”为此目的，他只
有同底同高的形状，来比较那些与底线平行并与底线有同等距离这样作出的
诸线的比率；一个形状的一切这样的线，都有一个同一的规定，并构成形状
的全部内容。例如他以这样的方式，也证明了诸同高的平行四边形与其底线
成比例这一基本的命题；在两个形状中所作出的每两条与底线有同等距离并
与底线平行的线，是有两底线的同一比率的，所以那两个形状全部也如此。
事实上，这些线不是构成作为连续的形状的内容，而是构成在算术上应该被
规定了的内容：有线的性质的东西是这种内容的原素，必须通过这种原