按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
最先创立了一般集合论的德国数学家康托出生于俄国的一个丹麦一犹太
血统家庭，后随父母迁居德国，1863年进入柏林大学学工。在那里，受到外
尔斯特拉斯的影响，转向研究纯粹数学。1867年获柏林大学数学博士学位，
博士论文是关于数论方面的。1869年后到哈雷大学任教，1879年任教授。
康托到哈雷大学后，开始对三角级数的研究，1870年到1872年发表了3
篇有关三角级数的论文。在 1872年的论文中，他提出了以柯西序列定义无理
数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准
则。三角级数的研究引发了康托进一步探讨无穷集和超穷序数的兴趣，并萌
发了集合论的思想。
1872年，康托结识了数学家戴德金，后者在“无穷”方面的思想和探索
给他留下深刻印象，之后，他们保持通信联系，相互讨论问题。1874年康托
发表了《关于一切实代数数的一个性质》的论文，指出一切实代数数和正整
数可以建立一一对应，并将一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。这是
关于集合论的第一篇革命性文章。1874年至1897年，康托继续发表了多篇
关于集合论和超限数的论文，阐述他的集合论，考虑、研究了各种无穷集合，
并把无穷集合分成不同等级。
康托称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到，
并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他认为，如果一个集合能够
… Page 79…
和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的，那些认为只有潜无穷集合，反
对实无穷的观点是错误的。
康托证明，在某种意义上，一小段线和一条无限长的线有同样多的点。
比如，考虑一个半圆弧和它下面的一条直线，这条直线和连接圆孤两端点的
直径平行。从半圆的圆心画一条直线，过半圆上的一个点，并交于无限长线
上一点。圆上的每点，总能找到无限长直线上的一点与之对应，反之亦然。
全直线不大于它的部分，至少就它们各自包含的点的数目而言是如此。全部
能和真的一部分建立一一对应。这是无穷集合的一个特性。
他还给出了一个集合的例子——康托集：把区间＇0，1＇中间的三分之一
1 2
挖去，即把（ ， ）挖去；然后从余下的两部分中再
3 3
挖去它们各自中间的三分之一；再从余下的四部分中挖去各自中间的三分之
一，以此类推，不断进行下去，留下部分的长度越来越小，而彼此分离部分
的个数则成倍增加，重复“挖去”的过程无限多次后，仍有一些点还未被挖
去，这些留下的点则形成了康托集。用几何级数求和方法可以证明，从区间
＇0，1＇中挖去的部分总长为1，这意味着康托集合的总长为零。还可以证明，
康托集合中的点，与整个区间＇0，1＇中的点一样多。康托通过证明指出，直
线上的点不能与整数建立一一对应关系，说明了，任何一个无穷集合与另外
任何一个无穷集合有同样多的点的看法是不正确的。
康托后来又证明了n维形体的点和线上的点可以有一一对应。这一似乎
抹杀了维数的区别的论点遭到了克罗内克等数学家的反对。而戴德金早些时
候也考虑到了，不同维空间的点可以建立不连续的一一对应。
1878年，康托提出了著名的连续统假设，即可数集合的基数和实数集合
（连续统）的基数之间没有其他基数。但是，证明这一假设的工作，直到本
世纪30年代后才有所突破。
集合论创立过程在数学界引起的反应是异常强烈的。当时的许多数学家
只承认有穷事物的发展过程是无穷，无穷只是潜在的，是就发展而言的，而
不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体。集合论的工作触及了许多经久
未决的问题，颠倒了许多前人的想法，肯定了作为完成整体的实无穷，自然
要遭到许多人包括一些数学界权威的非难、攻击。因此，集合论创立者的境
遇并不顺畅。康托曾希望进入当时著名的柏林大学任教，但对康托的“无穷”
观持严厉批判态度的某些数学家挡住他的去路，甚至攻击他神经质、“神秘
主义”，给他带来巨大的精神压力。1884年，康托患了精神分裂症，但1887
年又恢复了工作。
任何一种新事物、新理论的诞生，总会遇到反对者，但也不乏慧眼识真
金者。集合论也得到了不少卓越的数学家的极力支持，如戴德金、外尔斯特
拉斯等。1897年，在第一次国际数学家会议上，赫尔维茨和阿达玛指出了超
限数理论在分析中的重要作用；1902年，勒贝格成功地应用集合论于分析
学，创立了测度论和积分论；1906年，弗雷歇利用集合论观点研究函数空间。
19世纪末，集合论暴露出了一些内在的矛盾。1901年，英国哲学家、数
学家罗素（1870—1970）发现一悖论，即“所有不属于其自身的集合的集合，
是属于该集合，还是不属于该集合，都导致矛盾”，对数学界震动颇大，并
因此产生了数学基础的危机，引起长达多年的热烈争论。1908年，德国数学
家策梅罗（1871—1953）为解决集合论悖论而把集合论公理化。经过后来的
… Page 80…
多次修改，公理集合论得到了巨大发展。
数学大师希尔伯特（1862—1943）在德国传播了康托的思想，并于1926
年宣称：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走。”至此，康托
的理论已最终得到了数学界的一致认可。
经过20世纪中的发展，集合论已成为数学家最基本的语言，即数学语言
更多地从直观描述转到集合论语言。数学中有自然数、有理数和无理数的集
合，直线可视为点的集合，平面可以视为点的集合，也可以看成是直线的集
合。某些函数也构成集合，所有的旋转变换也构成集合。
集合论深入到数学的每一个角落，成为各个学科的共同基础，是20世纪
数学的一个重要特点。而且，现代数学不是孤立地研究集合，而是研究集合
里的“结构”，即某个集合中的元素所满足的一些数学关系。
2。希尔伯特对数学的贡献
数学大师希尔伯特的成长和成功的道路，是现代人才学的一个典型例
子。他的故乡哥尼斯堡，建于13世纪，是一座著名的大学城，有古老的大学，
有著名的哲学家康德的墓地，文化传统十分深厚。爱好哲学、天文和数学的
母亲对他更有潜移默化的影响。
希尔伯特读小学时，适遇后来成为杰出数学家的闵科夫斯基 （1864—
1909）从俄罗斯搬到哥尼斯堡，并成为希尔伯特的邻居。觉得自己比较愚钝
的小希尔伯特，在少年奇才闵科夫斯基等的激励下，学习十分的勤奋努力，
并和闵科夫斯基成为挚友。在希尔伯特的学生时代，德国的小学教育十分注
重基础知识和基本训练，中学和大学充满自由学习的空气。著名的数学家雅
可比、魏伯等曾在希尔伯特就读的哥尼斯堡大学里任教，并使该校形成了数
学研究中心，年轻人能经常接触到数学研究最前沿的课题。
1885年，希尔伯特获博士学位，1893年任哥尼斯堡大学教授，1895年
赴哥廷根大学任教授。1902年后一直是德国《数学年刊》主编之一。
（1）希尔伯特涉及的主要数学领域
希尔伯特是20世纪最伟大的数学家之一，他常常直攻数学的重大问题，
开拓新的研究领域，并努力寻求带普遍性的方法。他涉及的数学领域以及对
数学的贡献是多方面的。从时间顺序上看，主要有以下几个方面。
他获得博士学位后，便开始研究果尔丹问题，即不变式系的有限整基的
存在定理。希尔伯特独辟蹊径，采用了直接的、非算法的方法进行了证明，
问题的彻底解决曾轰动数学界。他对代数不变式问题的研究工作，孕育了女
数学家爱米·诺特为代表的抽象代数学派。
1894年后，希尔伯特主要研究代数数域论问题，1898年的论文《相对阿
贝尔域理论》，是他在这一方面工作的顶峰。日本数学家高木贞治（1875—
1960）和奥地利数学家阿廷（E。Artin，1898—1962）在他工作的基础上发展
了类域论。
1899年至1903年，希尔伯特的工作主要在几何基础方面。1899年，他
发表了著名的《几何基础》一书。在此书中，他给出了几何学的一个清晰的、
完备的公理化体系。全体公理按性质分为5组，即关联公理、次序公理、平
行公理、六条全等公理和连续公理。希尔伯特对这些公理之间的逻辑关系作
了深刻考察，精确提出了公理系统的相容性、独立性和完备性的要求，这一
… Page 81…
方面工作的意义远远超出了几何基础的范畴。希尔伯特所奠基的公理化方法
是19世纪数学发展的结晶，并为20世纪的数学家们起到了导航作用。
1904年，希尔伯特证明了狄利克雷原理，解决了它的适用范围问题，从
而拯救了这一原理，大大丰富了变分法的经典理论。
从1904年到1912年，希尔伯特发展了弗雷德霍姆积分方程论，综合运
用分析、几何和代数的方法发展了特征函数与特征值理论。他将函数空间中
的函数按正