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解决。
（13）不可能用只有两个变数的函数解一般七次方程。1957年，苏联数学
家阿诺尔德 （V。I。Arnold）解决了连续函数的情形，1964年维土斯金
（Vituskin）又推广到连续可微函数情形。解析函数情形则尚未解决。
（14）某些完备函数系的有限性的证明。这和代数不变量问题有关，1959
年，日本数学家永田雅宣举出了反例，获得否定解决。
（15）舒伯特计数演算的严格基础。舒伯特曾对“有几条直线能和三维空
间中的四条直线都相交”的典型问题，给出了一个直观解法。希尔伯特要求
将问题一般化，并给以严格基础。其代数几何基础已由荷兰数学家范德瓦尔
登 （1905—）等所建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。
（16）代数曲线和曲面的拓扑问题。这个问题分为两部分。一部分涉及代
数曲线含有闭的分支曲线的最大数目，一部分则要求讨论dy/dx＝Y/X的极限
环的最大个数和相对位置，其中X，Y是X，y的n次多项式。苏联的彼德罗
夫斯基院士曾证明了n＝2时极限环的个数不超过3。1979年，中国的史松龄
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和王明淑分别给出了4个极限环的反例。（17）正定形式的平方和表示。1927
年，由数学家E。阿廷解决。（18）用全等多面体构造空间。德国数学家比勃巴
赫、莱因哈特分别于1910年和1928年分别对该问题作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否一定解析。苏联数学家伯恩斯坦和彼德罗夫
斯基等得出了部分结果，前者证明了一个变元的解析非线性椭圆方程其解必
定解析。该结果后又被推广到多变元和椭圆组情况。
（20）一般边值问题。这一问题的研究还在蓬勃发展，已形成一个很大的
数学分支。
（21）具有给定单值群的线性微分方程解的存在性。已由希尔伯特本人于
1905年、勒尔于1957年和德利涅于1970年所解决。
（22）解析关系的单值化。问题涉及艰深的黎曼曲面论，1907年德国的克
伯解决了一个变数的情形，取得重要突破，其他方面尚未解决。
（23）变分法的进一步发展。希尔伯特在这个问题中，谈了对变分法的一
般看法。20世纪中变分法有了长足发展。
希尔伯特提出的23个问题，对20世纪数学发展的影响是巨大的。当然，
本世纪中数学发展的广度和深度都远远超出世纪初的预测，这表现在代数拓
扑、抽象代数、泛函分析、多复变量函数等方面，更表现在应用数学以及随
计算机出现而蓬勃发展起来的计算数学和计算机科学方面。
在21世纪的脚步已清晰可闻的又一个世纪之交，23个问题中仍有约三
分之一的问题有待解决，而其中的大部分恐怕要留给新的世纪了。
这一时期，数学还发展了一个全新的、重要的分支——张量分析。它的
创建只是迎合数学的某种特殊目的，是与黎曼几何相联系的微分不变量研究
的一种变形。然而，相对论的诞生和爱因斯坦成功地应用张量分析于相对论，
则大大促进了人们对这一分支的兴趣，也同时促进了这一分支的发展。
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九、世纪之交的科技特点及其比较
1870年—1918年，这48年的时间跨越了两个世纪。处在世纪之交的这
段时间，科学技术的发展，在当时的经济背景和文化背景下形成了鲜明的特
点：
1。经典科学理论向现代科学理论的转变
从19世纪后30年到20世纪20年代，科学的发展经历了从经典理论到
现代理论的转变。这一变化最突出、最重要地表现在物理学方面。19世纪末，
物理学的发展在力学方面有了牛顿的力学体系，在电磁学方面有了麦克斯韦
的电磁理论。牛顿力学概括了从伽利略到开普勒的力学理论；麦克斯韦的电
磁理论概括了从奥斯特到法拉第的研究成果。至此，古典物理学已经达到了
自己的顶峰。许多物理学家认为，物理学的理论大厦已经建成，它甚至达到
尽善尽美的程度，因此，剩下的问题只不过是些可有可无的修饰，总之，要
做的事情已经不多了。但令物理学家们感到美中不足也放心不下的是经典物
理学还有两个问题没有得到完满的解释，因此它们被称为物理学上空的两朵
乌云。其一是黑体辐射的疑难，其二是“以太漂移”实验的“0”结果。人们
试图揭开两朵乌云之谜，但又发现这将动摇经典物理学的理论根基。
两朵乌云引起了物理学的危机。面对危机，许多著名的物理学家表现了
不同的态度，于是形成了“机械学派”和“批判学派”。机械学派极力维护
经典物理学的基本理论纲领——以力学的基本概念和原理来解释一切物理现
象；而批判学派则对经典物理学采取了大胆的批判态度。机械学派继承了物
理学的传统，他们遵循了认识的唯物主义观点，但又把力学原理看作可以达
到的绝对真理，从而把机械论和唯物论等同起来，他们又总是力图把新的发
现纳入经典力学的体系之中。批判学派否定机械论中的形而上学，但他们只
承认知识的相对性和坚持约定性，而忽视了知识的客观内容，因此陷入了实
证主义和唯心主义的泥坑。机械学派和批判学派在哲学观念上的保守与偏执
使他们在理论研究中无法走出科学的迷宫。
物理学上空的两朵乌云，看似成不了什么气候，然而却酿成了20世纪物
理学革命的暴风骤雨。这场革命的伟大旗手便是相对论的创立者爱因斯坦。
在狭义相对论中，爱因斯坦提出了“尺缩”和“钟慢”效应，否定了牛顿的
绝对时空观，指出了牛顿力学在低速状态中的合理性，从而把物理学的理论
从低速扩展到高速。在广义相对论中，爱因斯坦提出了等效原理和广义相对
性原理，从而把物理学理论从宏观扩展到微观和宇观。物理学的新概念——
相对论和量子力学，囊括了牛顿力学的理论体系，获得了理论研究的重大突
破，从而使物理学发生了从经典科学理论向现代科学理论的转变。
科学的发展是辩证的否定，是在批判的基础上汲取前人成果中的合理部
分并加以发展和创新。因此可以说，如果没有牛顿力学和那时其他科学家创
立的科学理论，就不可能发生18世纪的产业革命；如果没有法拉第的电磁感
应定律和麦克斯韦的电磁理论，电气化时代在19世纪就不可能出现；如果没
有爱因斯坦的相对论、质能关系式和薛定谔的波动方程，那么，电子和原子
时代的到来就不可能在20世纪变为现实。
化学也同样发生了从经典科学理论向现代科学理论的转变。经典化学的
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最高成果是拉瓦锡的氧化说和道尔顿的原子论。拉瓦锡建立的燃烧的氧化说
否定了燃素说，使化学从燃素说中解放出来，并迅速得到发展。拉瓦锡不仅
建立了科学的燃烧理论，而且还建立了质量守恒定律。后来，道尔顿的原子
论把化学理论提高到一个新的阶段。关于物质分割到最后的最小单位，当时
存在着几种不同的说法，如分子、粒子、原子等，是道尔顿使用了原子一词，
将各种称谓归于一统。1803年，道尔顿提出了倍比定律。1808年，道尔顿发
表了《化学哲学的新体系》的论著，确立了以质量不灭定律为武器的科学的
元素观，与拉瓦锡的《化学的元素》一起奠定了近代化学的基础，成为古典
化学的两大名著。
此后，粒子物理学的发展，进一步发现原子仍然是可分的，它包含电子、
质子和中子。在门捷列夫发现元素周期律，列出了周期表之后，人们对元素
的化学性质和化学反应有了质的认识和量的把握。从此，化学进入了现代化
学阶段。
2。以电气技术为主导，带动、促进其他领域的技术发展
如果说18世纪的技术是以蒸汽动力技术为主导而发展起来的，那么19
世纪则是以电气技术为主导，电气技术的发展，带动和促进其他领域的技术
发展。
由于电的使用，人类从此获得了极其便利的能源和动力。电力的使用和
发展首先使电力系统很快发展起来，如使发电机、电动机、变压器、电线电
缆、电子元件、绝缘材料、电工仪表等的制造和维修迅速建立起各自的生产
部门，并逐渐成龙配套，形成庞大的工业技术体系。电的使用，仅电灯照明，
就给各行各业带来了生机。从探索宇宙奥秘的射电天文学到进行微观研究的
电子显微镜，都得益于电的应用。大大小小的发电机和电动机，从大的生产
设备到小的精密仪器都需要电提供能源和动力。电的使用，还使电信技术迅
速兴起，对人们来说至关重要的信息实现了快速传递，电报、电话、无线电
从此使信息技术跨入了新时代。电的使用，使工厂落后的生产方式得以改变，
原始的生产设备得到更新，因而使现代化生产和自动化操作成为可能。电的
使用，又催生出一系列新兴的技术部门，如电解、电镀、电焊、电冶金技术、
电加工技术……总之，由于电的使用，19世纪产生的新技术几乎都转移到了
利用电能的基础之上；电的使用，使20世纪成为电气化的世纪。
3。技术受经济的制约，随经济的发展而发展